二等辺三角形の高さ計算機

二等辺三角形の高さとは

二等辺三角形の高さは、頂点（2つの等しい辺が交わる点）から三角形の底辺またはその延長に垂直に引いた線です。二等辺三角形では、2つの辺が同じ長さ（側辺と呼ばれる）で、3つ目の辺が底辺です。頂点から底辺までの高さは、底辺を2つの等しい部分に分割し、頂点での角度の二等分線として機能します。私たちの二等辺三角形計算機を使用して、その面積と周囲を計算できます。

二等辺三角形の高さの特性

二等辺三角形では、頂点から底辺に引かれた高さにはいくつかの特筆すべき特徴があります:

• 底辺を2つの等しい部分に分けます。
• 三角形の中央値として作用します。
• 頂点で角度の二等分線として機能します。
• 底辺に対して垂直です。

底角から側辺までの高さには独自の特徴があります:

• 反対側の底角からの高さと等しい。
• 側辺と直角を形成します。
• 側辺を不等な部分に分けます。

高さの計算式

頂点からの高さ (h₁)

1. 側辺と底辺を使用して： $h_1 = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$

2. 面積と底辺を使用して： $h_1 = \frac{2A}{b}$

3. 底角と側辺を使用して： $h_1 = a \sin{\alpha}$

底角からの高さ (h₂)

1. 頂点角と側辺を使用して： $h_2 = a \sin{\beta}$

2. 側辺と底辺を使用して。まず、頂点からの高さの公式を使用します： $h_2 = a \sin{\beta}$ ここで、角度 $\beta$ の計算は次のように行われます： $\beta = 180° - 2\alpha$、$\alpha=\arccos{\left(\frac{b}{2a}\right)}$

3. 面積と側辺を使用して： $h_2 = \frac{2A}{a}$

例の計算

例 1

与えられたもの： 側辺 $a = 10$ cm、底辺 $b = 12$ cm。 求めるもの： 頂点からの高さ $h_1$

解決： $h_1 = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}} = \sqrt{100 - \frac{144}{4}} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm

例 2

与えられたもの：面積 $A = 60 \text{ cm}^2$、底辺 $b = 10 \text{ cm}$ 求めるもの：頂点からの高さ $h_1$

解決： $h_1 = \frac{2A}{b} = \frac{2 \times 60}{10} = 12$ cm

例 3

与えられたもの：頂点角 $\beta = 36°$、側辺 $a = 15 \text{ cm}$ 求めるもの：頂点からの高さ $h_2$

解決： $h_2 = a \sin{\beta} = 15 \sin{36°} = 15 \times 0.5878 \approx 8.817 \text{ cm}$

例 4

与えられたもの：面積 $A = 40 \text{ cm}^2$、側辺 $a = 13 \text{ cm}$ 求めるもの：底角からの高さ $h_2$

解決： $h_2 = \frac{2A}{a} = \frac{2 \times 40}{13} \approx 6.15 \text{ cm}$

重要な注意事項

1. 高さを計算するとき、二等辺三角形では：

   • 側辺が等しい。
   • 底角が等しい。
   • すべての角の合計は180°である。

2. 三角形の要素間の関係を考慮してください：

   • もし $\alpha$ が底角である場合、$\beta = 180° - 2\alpha$
   • もし $\beta$ が頂点角である場合、$\alpha = \frac{180° - \beta}{2}$

3. 高さは、角度に応じて、三角形の内側や外側に描かれることがあります：

   • もし頂点角が鋭角である場合、高さは三角形の内側にあります。
   • もし頂点角が鈍角である場合、高さは三角形の外側にあります。
   • もし頂点角が直角である場合、高さは側辺と一致します。

よくある質問

側辺が $a = 17 \text{ cm}$ で底角が $\alpha = 42°$ の場合、二等辺三角形の高さをどのように求めますか？

$h_1 = a \sin{\alpha} = 17 \sin{42°} = 17 \times 0.669 \approx 11.37 \text{ cm}$

頂点からの高さと底角からの高さの違いは何ですか？

頂点からの高さは底辺に測定され、頂点の角の二等分線として働きますが、底角からの高さは側辺に測定され、主要な特性はなく、その側に垂直であることを除いては。

二等辺三角形の高さはその側辺よりも大きくなることがありますか？

いいえ、高さは常に側辺よりも小さくなり、側辺が斜辺である直角三角形の足として機能します。

底辺を増やすと、側辺が一定のまま変わらずに三角形の高さがどのように変わりますか？

底辺の長さを増やすと、頂点からの高さが減少しますが、底角からの高さは初めは増加し、その後減少します。

面積が $A = 48 \text{ cm}^2$ で底辺が $b = 16 \text{ cm}$ の場合、二等辺三角形の高さをどのように求めますか？

$h_1 = \frac{2A}{b} = \frac{2 \times 48}{16} = 6 \text{ cm}$

側辺が底辺と同じ場合の二等辺三角形の高さはどのくらいですか？

そのような場合では、三角形は正三角形であり、高さは次のように計算されます： $h_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ ここで $a$ は三角形の辺の長さです。