四面体体積計算機

四面体とは？

四面体は、四つの三角形の面、六つの辺、そして四つの頂点を持つ三次元の多面体です。すべての通常の凸状多面体の中で最も単純です。規則的な四面体はすべての辺の長さが等しく、すべての面が正三角形です。それに対して、不規則な四面体は辺の長さがさまざまであり、面はスカレンまたは二等辺三角形である場合があります。四面体は五つのプラトン立体の一つであり、古代から研究されており、エウクレイデスのような古代ギリシャの数学者への言及が見られます。

四面体の体積を計算するための公式

底面積と高さを用いた体積

どんな四面体でも、底面の面積 $A$ と高さ $h$（底面から反対の頂点までの垂直距離）がわかっている場合、体積は以下の通りです：

この公式はピラミッドの体積と類似しており、規則的または不規則にかかわらずすべての四面体に普遍的に適用されます。

規則的四面体の体積公式

辺の長さ $a$ の規則的四面体の体積 $V$ は以下の式で計算されます：

または以下のように書くこともできます：

この公式は、四面体の辺の長さと高さの関係から導かれ、対称性を利用しています。

不規則な四面体の体積公式

頂点 $A, B, C, D$ によって定義された不規則な四面体の場合、体積は一つの頂点から始まるベクトルのスカラー三重積を使用して計算できます。ベクトル $\vec{AB}$、$\vec{AC}$、および $\vec{AD}$ がわかっている場合、体積は次のようになります：

これは、対称性に関係なく、どの四面体にも機能します。

体積計算の例

例 1: 規則的四面体

問題: 辺の長さが5 cmの規則的四面体の体積を計算します。
解答:
公式に $a = 5$ を代入します：

例 2: 不規則な四面体

問題: 頂点が $A(0, 0, 0)$、$B(2, 0, 0)$、$C(0, 3, 0)$、$D(0, 0, 4)$ にある四面体の体積を求めてください。
解答:

1. 頂点 $A$ からのベクトルを定義します： $$\vec{AB} = (2, 0, 0), \quad \vec{AC} = (0, 3, 0), \quad \vec{AD} = (0, 0, 4)$$
2. クロス積 $\vec{AC} \times \vec{AD}$ を計算します： $$\vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = (12, 0, 0)$$
3. ドット積 $\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})$ を計算します： $$(2, 0, 0) \cdot (12, 0, 0) = 2 \times 12 + 0 + 0 = 24$$
4. 体積を計算します： $$V = \frac{1}{6} \times |24| = 4 \, \text{unit}^3$$

例 3: 底面積と高さを使った体積

問題: 底面積が24 cm²の三角形の底を持つ四面体があります。底面から反対の頂点までの高さは9 cmです。体積はいくらですか？
解答:
公式 $V = \frac{1}{3} A h$ を使用します：

注意事項

1. 不規則な四面体の場合、ベクトルが同じ頂点から定義されていることを確認してください。
2. 単位は一貫している必要があります（例：すべての辺がセンチメートル）。
3. 規則的四面体の体積公式は、一般的なスカラー三重積手法の特別なケースです。
4. 公式 $V = \frac{1}{3} A h$ は、底面の形状が既知であるが四面体が規則的でない場合に特に有用です。
5. オンライン計算機はこれらの計算を自動化し、手動エラーを減少させます。

よくある質問

どのように辺の長さが規則的四面体の体積に影響しますか？

規則的四面体の体積は、辺の長さの三乗に比例します。例えば、辺の長さを2倍にすると体積は $2^3 = 8$ 倍に増えます。

不規則な四面体の体積はゼロになり得ますか？

はい。四つの頂点がすべて同じ平面上にある場合、スカラー三重積がゼロになり、体積もゼロになります。

規則的四面体と不規則な四面体の違いは？

規則的四面体は、すべての辺が等しく、面が正三角形であるのに対し、不規則な四面体は辺の長さがさまざまで、面が非正三角形です。

体積計算にスカラー三重積をどのように使用しますか？

1. 一つの頂点を起点として選びます。
2. この頂点から他の三つの頂点へのベクトルを計算します。
3. これらのベクトルのスカラー三重積を計算します。
4. 絶対値を6で割り、体積を得ます。

なぜ規則的四面体の公式の分母に $6\sqrt{2}$ がありますか？

用語 $\sqrt{2}$ は、四面体の幾何学におけるピタゴラスの関係から生じ、分母の6は単位体積に合わせて結果をスケーリングします。