トーラスの体積計算機

トーラスとは何か？

トーラスは、ドーナツや内管に似た三次元の幾何学的形状です。それは、円を三次元空間で、その円と同平面上にあるが交差しない軸の周りに回転させて形成されます。この回転により、中心に穴がある回転面が作られます。トーラスに関連する主要な用語には以下が含まれます：

• 主半径 (R): チューブの中心からトーラスの中心までの距離。
• 小半径 (r): チューブの円形断面の半径。

トーラスは幾何学、トポロジー、および物理学で研究され、自然や工学においても現れます。例えば、磁気融合炉（トカマク）や自転車タイヤなどです。

体積を計算するための公式

トーラスの体積 $V$ は、微積分の積分から導き出される公式を使用して計算されます：

ここで：

• $R$: 主半径（チューブの中心からトーラスの中心までの距離）
• $r$: 小半径（チューブ自体の半径）

この公式は、完全に円形の断面と軸の周りの滑らかな回転を仮定しています。

例

例1: クラシックドーナツ

ドーナツの主半径が $R = 4 \, \text{cm}$ 、小半径が $r = 2 \, \text{cm}$ であるとします。その体積は次のように計算されます：

例2: 工業用ゴムシール

$R = 10 \, \text{mm}$ および $r = 1.5 \, \text{mm}$ のOリング：

例3: 天文学的リング構造

$R = 1000 \, \text{km}$ および $r = 20 \, \text{km}$ の仮想的な宇宙トーラス：

歴史的背景

トーラスの研究は古代ギリシャの幾何学にさかのぼりますが、「トーラス」という用語は19世紀に普及しました。カール・フリードリヒ・ガウスは、微分幾何学の中でその性質を探求し、曲率と位相と結びつけました。トーラスは代数幾何学でも役割を果たし、複雑な形状をモデル化するために使用されています。

トーラス体積の応用

1. 工学: Oリング、タイヤ、MRI装置の超伝導磁石の設計。
2. 建築: 円形アリーナのようなトーラス構造の作成。
3. 物理学: 融合炉（例：トカマク）での磁気閉じ込めのモデリング。
4. 生物学: 細胞膜やウイルスカプシドの研究。

注意事項

1. 正確さ: 公式は、完全な円形断面を仮定しています。実世界のトーラスは変形を持つ場合があります。
2. 単位: 計算する前に $R$ および $r$ が同じ単位であることを確認してください。
3. 一般的なミス: $R$（主半径）を $r$（小半径）と混同すること。

よくある質問

$R = 5 \, \text{m}$ および $r = 1 \, \text{m}$ のトーラスの体積をどう計算するのですか？

タイヤをトーラスとしてモデル化できますか？

はい。例えば、$R = 30 \, \text{cm}$ および $r = 2 \, \text{cm}$ の自転車タイヤ：

主半径が2倍になると体積はどうなりますか？

体積は4倍になります。$V \propto R$ だからです。$R$ を2倍にすると $V$ が2倍になり、$r$ を2倍にすると $V$ は 4倍になります ($r$ が二乗されているため)。

一貫した単位が重要なのはなぜですか？

単位を混合すると（例：メートルでの $R$ とセンチメートルでの $r$）、誤った結果が生じます。まず、すべての測定を同じ単位に変換してください。

古代の数学者はトーラスを研究しましたか？

はい！アルキメデスは回転体の体積を探求し、トーラスは初期の幾何学の作品に登場しますが、その正式な分析は後に登場しました。