三角形の角度計算機

三角形の角とは？

三角形の角は、三角形の二つの辺によって形成される角度です。すべての三角形には三つの角があり、これらの角の合計は常に180度です。角は、α (アルファ)、β (ベータ)、γ (ガンマ) として表すことができます。

三角形の角度計算機は、他の角度や辺についての既知の情報に基づいて三角形の角度を計算できるオンラインツールです。三角形は基本的な幾何学的形状であり、理論数学や建築、工学設計などの実際的な応用においてその角と辺を理解することは重要です。

三角形の角の性質

1. 角の和: 前述の通り、どの三角形の三つの角の合計は常に180度です。
2. 角に応じて三角形は次のようになります:
   • 鋭角三角形 すべての角が90度未満の場合。
   • 直角三角形 一つの角が90度の場合。
   • 鈍角三角形 一つの角が90度を超える場合。

算法

三角形の角度の計算は、既知のデータに依存します。二つの角が知られている場合、すべての三角形の和の一般ルールが適用されます。すべての辺の長さが知られている場合は余弦定理を使用し、二つの辺とその間の角が知られている場合は正弦定理を使用します。それぞれの計算オプションを見ていきましょう：

すべての角の和

三角形には重要な性質があります：内部角の和は常に180度です。この基本的な性質はユークリッド幾何学から導かれ、多くの他の幾何学計算の基礎となっています。

最初に二つの角が知られている場合、三つ目の角は次の式から常に計算できます：

$$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$$

このルールは三角形に関連する多くのタスクを解決するのを簡素化し、未知の角を迅速に見つけるために使用できる基本的な性質を表しています。

余弦定理

余弦定理により、三角形の三つの辺の長さが知られている場合、角を計算できます。これは、三角形の任意の辺の長さの二乗が、他の二辺の長さの二乗の和に等しく、そこからこれらの辺の長さの積を二倍してその間の角の余弦を掛けたものを引いたものと述べています。余弦定理を使用した角度の計算式：

$$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$ $$\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$ $$\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

角の余弦を見つけた後、その角を見つけるためにアークコサイン関数を使用できます。

正弦定理

既知の二辺とその間の角を使用して角を計算するには、正弦定理を使用できます。これは、辺の長さと対面の角の正弦の比率が三角形の三辺すべてで同じであると述べています：

$$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$$

例

例1：二つの既知の角を持つ角度の計算

三角形があり $\alpha = 50^\circ$ および $\beta = 60^\circ$ の場合、角度 $\gamma$ を求めます：

$$\gamma = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$$

例2：三辺を持つ角度の計算

辺 $a = 7$、$b = 10$、$c = 5$ の三角形を考えます。角度 α を計算します：

$$\cos(\alpha) = \frac{10^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 10 \cdot 5} = \frac{100 + 25 - 49}{100} = \frac{76}{100} = 0.76$$

今度は角度 α を見つけます：

$$\alpha = \arccos(0.76) \approx 40.54^\circ$$

例3：二辺とその間の角を持つ角度の計算

辺 $a = 6$、$b = 8$、およびその間の角度 $\alpha = 45^\circ$ が既知の場合。角度 β を見つけるには：

$$\frac{6}{\sin(45^\circ)} = \frac{8}{\sin(\beta)}$$

$\sin(\beta)$ の解を求めます：

$$\sin(\beta) = \frac{8 \cdot \sin(45^\circ)}{6} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

角度 β を見つけます：

$$\beta = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \approx 73.74^\circ$$

注記

1. アークコサインとアークサインを使用する際は、結果が許容範囲内の角度 (0-180度) にあることを確認してください。
2. 指定されたパラメータで三角形を形成できない場合、結果が実際の角度と一致しないことがある。
3. 入力データが正確で三角形の構築に許可されていることを確認してください。間違ったデータは計算エラーに繋がります。

よくある質問

二つの角が与えられた場合、三角形の第三の角をどうやって見つけますか？

二つの角度 $\alpha$ と $\beta$ が知られている場合、第三の角度 $\gamma$ は次の式で見つけることができます：

$$\gamma = 180^\circ - \α - \beta$$

三辺が知られている場合、角度はどのように計算されますか？

三辺が知られている場合、余弦定理を使用して角度を見つけます。この公式を使用します：

$$\cos(\α) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$

その後、αの角度を見つけるためにアークコサインを使用します。

角度の計算が不可能な場合はどうすればよいですか？

計算が不可能な場合 (例えば、辺が三角不等式に反するとき)、入力データを再確認してください。そのようなパラメータでは三角形を形成できない可能性があります。

三角形 $abc$ で角度 $\angle ac$ をどうやって見つけますか？

三角形の辺が $a, b$, および $c$ の場合、角度 $\angle ac$ を見つけるために次の計算を適用します。

余弦定理を使用して角度 $γ$ を計算します:

$$\cos(γ) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$

$γ$ を計算した後、アークコサインを使用して角度 $γ$ 自体を見つけます:

$$γ = \arccos\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$$

この計算機は直角三角形に使用できますか？

はい、この計算機は直角三角形にも対応しています。既知の斜辺と一つの脚で、三角関数を使用して片方の角を見つけることができます。

三角形で角度が90度の場合、他の角度をどうやって見つけますか？

直角三角形の一つの角度が90度の場合、この計算機に加えて、特殊な直角三角形の角度計算機も使用できます。