三角柱の体積計算機

三角柱とは何ですか？

三角柱は、二つの同一の三角形の底面と三つの矩形の側面を持つ三次元の立体です。これは、長さに垂直な断面が三角形であるプリズムの一例です。三角柱は、幾何学で頻繁に遭遇し、建築、芸術、工学などのさまざまな分野で応用されています。三角柱の体積を見つけたいとき、基本的にはどれだけの空間を占めるかを計算しています。

三角柱の種類

1. 正三角柱: 両方の三角形の底面が正三角形です。
2. 不規則三角柱: 底面は任意の三角形、たとえばスカレンまたは二等辺三角形でありえます。
3. 直角三角柱: しばしば直角の三角形の底面を持つプリズムを指します。

体積の計算

三角柱の体積は、以下に示すさまざまなパラメータを使用して計算できます。三角柱の体積の基本公式は次のとおりです：

$$V = A_{\text{底面}} \times L$$

ここで、$V$は体積、$A_{\text{底面}}$は三角形の底面の面積、$L$は柱の長さです。

1. 柱の長さと三角形の三辺を使用

辺が$a$、$b$、および$c$の三角形の場合、面積$A_{\text{底面}}$は、ヘロンの公式を使用して決定できます：

$$s = \frac{a + b + c}{2}$$ $$A_{\text{底面}} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

したがって、体積は次のようになります：

$$V = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \times L$$

2. 柱の長さ、二辺、およびその間の角度を使用

辺が$a$と$b$で、間の角度が$\theta$の三角形の場合、面積$A_{\text{底面}}$は：

$$A_{\text{底面}} = \frac{1}{2} a b \sin(\theta)$$

したがって、体積は次のようになります：

$$V = \frac{1}{2} a b \sin(\theta) \times L$$

3. 柱の長さ、二つの角度、およびその間の辺を使用

辺が$a$で、角度が$\alpha$と$\beta$の三角形において、第三の角度$\gamma$は次のように求められます：

$$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$$

正弦定理を使用した面積は：

$$A_{\text{底面}} = \frac{a^2 \sin(\alpha) \sin(\beta)}{2 \sin(\gamma)}$$

体積は次のようになります：

$$V = \frac{a^2 \sin(\alpha) \sin(\beta)}{2 \sin(\gamma)} \times L$$

4. 柱の長さ、基底、および高さを使用

底辺が$b$で高さが$h$の三角形の場合：

$$A_{\text{底面}} = \frac{1}{2} b h$$

したがって、体積は次のようになります：

$$V = \frac{1}{2} b h \times L$$

例

例1: 正三角柱

底面が6cm、6cm、6cmの正三角形、長さが10cmの正三角柱。

• 半周長を計算： $s = \frac{6 + 6 + 6}{2} = 9 \text{ cm}$
• ヘロンの公式を使用： $$A_{\text{底面}} = \sqrt{9(9-6)(9-6)(9-6)}$$ $$A_{\text{底面}} = \sqrt{9 \times 3 \times 3 \times 3} = 9 \sqrt{3} \text{ cm}^2$$
• 体積： $$V = 9 \sqrt{3} \times 10 = 155.9 \text{ cm}^3$$

例2: 不規則三角柱

底面の三角形の辺が8cm、5cm、7cm、柱の長さが12cm。

• $s = \frac{8 + 5 + 7}{2} = 10 \text{ cm}$
• ヘロンの公式： $$A_{\text{底面}} = \sqrt{10(10-8)(10-5)(10-7)} = \sqrt{10 \times 2 \times 5 \times 3} \approx 17.32 \text{ cm}^2$$
• 体積： $$V = 17.32 \times 12 = 207.85 \text{ cm}^3$$

例3: 直角三角柱

底面の底辺が5cmで高さが6cm、柱の長さが15cm。

• $A_{\text{底面}} = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 = 15 \text{ cm}^2$
• 体積： $$V = 15 \times 15 = 225 \text{ cm}^3$$

注意

• 計算する前にすべての測定が同じ単位であることを確認してください。
• 三角関数を計算する際には、角度が必要な単位（度またはラジアン）であることを確認してください。
• ヘロンの公式を使用する際には、浮動小数点計算での精度誤差を避けるために注意してください。

よくある質問

知っている辺の長さで三角柱の体積をどうやって計算するのですか？

三角形の三辺が知られている場合には、ヘロンの公式を使用して三角形の底面の面積を見つけ、柱の長さで掛けて体積を計算します。

三角柱は何面ありますか？

三角柱は五つの面を持っています： 二つの三角形の底面と三つの矩形の側面。

正三角柱と不規則三角柱の違いは何ですか？

正三角柱は底面が正三角形で、不規則三角柱はどんな三角形の形状でもありえます。

柱の長さは三角形の最長辺より短くてもいいですか？

はい、柱の長さ（さまざまな方向で高さに対応することが多い）は、底面の三角形のどの辺よりも短くても、長くても、または等しくてもいいです。