三角錐ボリューム計算機

三角錐とは？

三角錐、または四面体とも呼ばれるものは、三角形の底面と、底面の平面にない1つの頂点に向かって会合する3つの三角形の面を持つ、3次元の幾何学図形です。三角錐はポリヘドロンの一種で、特に4つの三角形の面、6つの辺、4つの頂点で構成されています。

三角錐の体積公式

三角錐の体積 $V$ は、錐の既知のパラメータに応じてさまざまな方法で計算できます。

1. 底面積と高さに基づく体積

$V = \frac{1}{3} \times A_{\text{底面}} \times H$ ここで：

• $A_{\text{底面}}$ は三角形の底面積
• $H$ は底面から頂点までの錐の高さ

2. 底面の3辺が既知の場合の体積

底面の3辺 $a$、$b$、および $c$ が知られ、錐の高さ $H$ が与えられている場合、ヘロンの公式を用いて底面積を計算します：

1. 半周長 $s$ を計算します： $s = \frac{a + b + c}{2}$
2. ヘロンの公式で底面積 $A_{\text{底面}}$ を計算： $A_{\text{底面}} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
3. $A_{\text{底面}}$ を体積公式に代入： $V = \frac{1}{3} \times \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \times H$

3. 2辺と包含角が既知の場合の体積

底面の2辺 $a$ と $b$ と包含角 $\alpha$ が知られている場合： $A_{\text{底面}} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\alpha)$ その後体積式にエリアを使用します。

4. 一辺と2つの隣接する角が既知の場合の体積

底面の辺 $b$ とその2つの隣接する角度 $\alpha$ および $\beta$ が既知の場合、サイン法則を使用して底面積を求めることができます： $A_{\text{底面}} = \frac{b^2 \times \sin(\alpha) \times \sin(\beta)}{2 \times \sin(\alpha + \beta)}$ この $A_{\text{底面}}$ を体積式に利用します。

5. 底辺の高さと辺が既知の場合の体積

底辺の高さ $h_{\text{底面}}$ と三角形の底辺の辺 $b$ が与えられる場合： $A_{\text{底面}} = \frac{1}{2} \times b \times h_{\text{底面}}$ 同じ体積方程式に組み入れます。

正しいと間違った三角錐の理解

正三角錐（四面体）

正四面体はすべての辺が等しい三角錐で、すべての面が正三角形です。エッジの長さが $a$ の場合、体積は次の公式を使用して計算されます： $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times a^3$

注意：一部の資料では、「正三角錐」という用語は、底面に正三角形を持ち、側面のエッジが等しい錐を指しますが、底面のエッジと側面のエッジが等しいわけではありません。この場合、体積の公式は、錐の高さと底面積に依存します。

不規則な（または不正確な）三角錐

不規則な三角錐には、長さがさまざまな辺があり、角度や辺の測定において均一性を示しません。体積計算は、異なる辺の長さや対応する高さなど、既知の測定に依存します。

三角錐の頂点の座標がわかっている場合

三角錐の頂点の座標がわかっている場合、四面体体積計算機を使用して代替方法を適用できます。三次元空間の頂点の座標を決定することで、ベクトル数学を使用して計算することが可能になります。このツールは、錐が高さと底面積の明確な測定に一致しない場合に便利です。

体積計算の例

例1：底面積と高さが既知の場合

三角形の底面積が $6 \, \text{cm}^2$ で、錐の高さが $9 \, \text{cm}$ の場合の体積を計算します。 $V = \frac{1}{3} \times 6 \times 9 = 18 \, \text{cm}^3$

例2：3辺が既知の場合の体積

辺の長さが $a = 3 \, \text{cm}$、$b = 4 \, \text{cm}$、$c = 5 \, \text{cm}$、錐の高さが $10 \, \text{cm}$ の場合：

1. 半周長を計算 $s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$
2. 底面積 $A_{\text{底面}} = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6 \, \text{cm}^2$
3. 体積 $V = \frac{1}{3} \times 6 \times 10 = 20 \, \text{cm}^3$

例3：2辺と包含角が既知の場合

三角形の底面が $a = 5 \, \text{cm}$、$b = 6 \, \text{cm}$、角度 $\theta = 60^\circ$、錐の高さが $8 \, \text{cm}$ の場合：

1. 底面積 $A_{\text{底面}} = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \sin(60^\circ) = \frac{15\sqrt{3}}{2} \, \text{cm}^2$
2. 体積 $V = \frac{1}{3} \times \frac{15\sqrt{3}}{2} \times 8 = 20\sqrt{3} \, \text{cm}^3$

よくある質問

底面積と高さがわかっている場合の三角錐の体積は？

三角錐の体積は、底面積と高さの積の1/3です。

錐は何個の三角形の面がありますか？

三角錐は、底と3つの側面をあわせた合計4つの三角形の面で構成されています。

三角錐は水平な底を持つことができますか？

はい、三角錐の底面は通常のイラストで水平ですが、実際には別の基準平面に対してどの位置でも取ることができます。

三角錐と四面体の違いは何ですか？

四面体は4つの三角形の面を持つポリヘドロンで、規則的（すべての辺と角度が等しい）または不規則であることがあります。三角錐は特別な四面体で、1つの面が底で、他の3つが側面になります。したがって、すべての三角錐は四面体ですが、すべての四面体が決まった底面を持つとは限りません。

底辺の長さが3の場合、正三角錐の体積は？

正四面体または正三角錐（すべての辺が等しい）の場合、体積は次の公式で計算されます： $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times a^3$ $a = 3$ を置換： $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 3^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 27 = \frac{27\sqrt{2}}{12} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

正三角錐の体積は3.182cm³です。

注意： “正三角錐” という用語が、底に正三角形があり、側面のエッジが等しいが、底面のエッジと側面のエッジが必ずしも等しくない錐を指す場合、体積の公式は、錐の高さと底面積に依存します。この場合、体積の公式は錐の高さと底面積に依存します。