다면체 부피 계산기

다면체 부피 계산기란 무엇인가요?

다면체 부피 계산기는 두 가지 기준에 따라 도형의 부피를 계산할 수 있습니다:

1. 직사각형 직육면체의 꼭짓점이 되는 다면체의 부피;
2. 두 개의 직육면체를 연결하여 만든 합성 도형의 부피; 두 개의 직사각형 프리즘으로 형성된 3D 모양의 총 부피를 계산합니다.

공식

직육면체에 내접한 다면체의 공식

먼저 직육면체 내에 내접한 다면체의 유형을 결정하세요:

1. 다면체가 피라미드인 경우(예: 직육면체의 한 면에 기초가 있고 반대쪽 꼭짓점에 꼭짓점이 있는 경우), 부피는 다음과 같이 계산됩니다:

$$V = \frac{1}{3} \times S \times h,$$

여기서 $S$는 기저 면적이고, $h$는 높이(꼭짓점에서 기저면까지의 거리)입니다.

2. 다면체가 프리즘인 경우(예: 두 평행면 사이에 있는 경우), 부피는:

$$V = S \times h,$$

여기서 $S$는 기저 면적이고, $h$는 프리즘의 높이입니다.

합성 다면체의 공식

합성 다면체의 총 부피 $V$는 다음과 같이 계산됩니다:

$$V = (L_1 \times W_1 + L_2 \times W_2) \times H$$

여기서:

• $L_1$ 및 $L_2$: 첫 번째 및 두 번째 직육면체의 길이(긴 면).
• $W_1$ 및 $W_2$: 두 직육면체의 폭(짧은 면).
• $H$: 공통 높이.

단계별 예시

예시 1: 직육면체의 정점을 기준으로 한 다면체의 부피

직사각형 직육면체 $ABCDA_1B_1C_1D_1$의 정점이 되는 점 $A, D, A_1, B, C, B_1$의 다면체 부피를 구하세요. 여기서 $AB = 3$, $AD = 4$, $AA_1 = 5$이고, $ABCD$는 직육면체의 하단 면이며 $A_1B_1C_1D_1$는 하단 면의 대응되는 점 위에 있는 상단 면입니다.

1. 직육면체에 내접한 도형이 삼각기둥임을 확인합니다.

2. 기둥의 밑면적을 계산합니다:

$S = \frac{1}{2} \times AA_1 \times AD = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10$

3. 기둥의 부피를 찾습니다:

$V = S \times h = 10 \times 3 = 30$ 이 예에서는 기둥의 높이가 변 $AB$의 길이와 같습니다.

참고: 검토된 예에서는 기둥이 직육면체 부피의 정확히 1/2을 차지하며, 계산된 결과는 직육면체의 부피를 찾아 확인할 수 있습니다: $V = 3 \times 4 \times 5 = 60$이며, 그 절반이 30입니다.

예시 2: L자형 테이블의 부피

테이블의 매개변수는 다음과 같습니다:

• 주요 부분: $L_1 = 1.8\, \text{m}$, $W_1 = 0.7\, \text{m}$
• 확장: $L_2 = 1.2\, \text{m}$, $W_2 = 0.6\, \text{m}$
• 높이 $H = 0.75\, \text{m}$

계산:

$$V = (1.8 \times 0.7 + 1.2 \times 0.6) \times 0.75 = (1.26 + 0.72) \times 0.75 = 1.98 \times 0.75 = 1.485\, \text{m}^3$$

역사적 배경

다면체에 대한 연구는 유클리드와 아르키메데스가 그 속성을 탐구한 고대 그리스에서 시작되었습니다. “다면체”라는 용어는 그리스어 poly (많은) 와 hedra (면) 에서 유래되었습니다. 연결된 프리즘과 같은 합성 다면체는 르네상스 시대에 아치형 천장과 서까래와 같은 복잡한 건축 요소를 분석하는 데 중요성을 얻었습니다.

응용

1. 건축: 다층 구조의 재료 계산.
2. 물류: 여러 수납 공간이 있는 컨테이너 디자인.
3. 제조: 복잡한 형태의 장비 공간 추정.

노트

• 모든 측정은 동일한 단위 시스템(미터, 피트 등)을 사용해야 합니다.
• 합성 도형의 공식은 공통 높이를 가정합니다. 높이가 다르면 부피를 따로 계산하고 합산하세요:

$$V = (L_1 \times W_1 \times H_1) + (L_2 \times W_2 \times H_2)$$

• 이 계산기는 직육면체에만 작동합니다. 복잡한 도형의 경우, 우리의 볼륨 계산기를 사용하세요.
• 직육면체에 내접한 다면체의 경우, 계산기는 직육면체의 치수가 알려진 경우 4-6 개의 특정 꼭짓점을 가진 도형을 지원합니다.

FAQ

프리즘의 높이가 다를 경우 부피를 어떻게 계산하나요?

높이 $H_1$ 와 $H_2$ 가 다른 경우, 부피를 따로 계산하고 합산하세요:

$$V = (L_1 \times W_1 \times H_1) + (L_2 \times W_2 \times H_2)$$

예시: $L_1 = 4\, \text{m}$, $W_1 = 2\, \text{m}$, $H_1 = 3\, \text{m}$; $L_2 = 3\, \text{m}$, $W_2 = 1\, \text{m}$, $H_2 = 2\, \text{m}$:

$$V = (4 \times 2 \times 3) + (3 \times 1 \times 2) = 24 + 6 = 30\, \text{m}^3$$

직사각형 직육면체 $ABCDA_1B_1C_1D_1$의 정점이 되는 점 $A, B, C, B_1$의 다면체 부피를 찾으세요. 여기서 $AB = 3$, $AD = 3$, $AA_1 = 4$입니다.

이 경우 $ABCD$는 직육면체의 하단 면이며 $A_1B_1C_1D_1$는 하단 면의 대응되는 점 위에 있는 상단 면입니다.

해결 단계:

1. 직육면체에 내접한 도형이 다음의 값을 가지는 삼각뿔임을 확인합니다: AB = 3, BC = 3 (AD에 평행한 변) 및 높이 BB1 = 4 (AA1에 평행한 변).

2. 삼각뿔의 밑면적을 계산합니다:

$S = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$

3. 삼각뿔의 부피를 찾습니다:

$V = \frac{1}{3} \times S \times h = \frac{1}{3} \times 4.5 \times 4 = 6$

정점이 $A, B, C, B_1$인 다면체의 부피는 6입니다.

계산기를 어떻게 사용하나요?

1. 다면체 유형 선택: “직육면체에 내접한 다면체” 또는 “합성 다면체”.
2. 꼭짓점의 수 선택.
3. 직육면체의 길이, 너비, 높이 입력.
4. 계산기는 자동으로 부피를 계산합니다.

고대 건축에서 합성 다면체가 사용되었나요?

네. 예를 들어, 로마의 콜로세움 기초는 불균형한 지형에 하중을 분산시키기 위해 직사각형 블록과 사다리꼴 블록을 결합했습니다.