정다각형 각기둥 부피 계산기

정다각형 각기둥이란?

정다각형 각기둥은 두 개의 합동인 다각형 밑면이 직사각형 면으로 연결된 3차원 기하학적 도형입니다. “정다각형”이라는 용어는 밑면의 다각형이 정다각형임을 나타내며, 이는 모든 변과 내각이 동일하다는 것을 의미합니다. 일반적인 예로는 삼각기둥 (밑면: 삼각형), 오각기둥 (밑면: 오각형), 육각기둥 (밑면: 육각형)이 있습니다. 각기둥의 부피는 그 밑면의 면적과 그 높이 (두 밑면 사이의 수직 거리)에 따라 달라집니다.

정다각형 각기둥의 부피 계산 공식

정다각형 각기둥의 부피 $V$는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다:

여기서:

• $S$ = 밑면 다각형의 면적
• $l$ = 각기둥의 높이 (밑면 사이의 거리)

각 변의 길이가 $s$ 인 $n$변 정다각형의 면적 $S$는 다음과 같이 주어집니다:

여기서 $a$는 아포템(다각형의 중심에서 한 변의 중점까지의 거리)입니다. 변의 길이 $s$가 알려져 있을 경우 아포템을 계산할 수 있습니다:

이것을 면적 공식에 대입하면:

따라서 최종 부피 공식은 다음과 같이 됩니다:

부피 계산 예시

예제 1: 오각기둥

문제: 한 변의 길이가 $s = 6 \, \text{cm}$ 이고 높이가 $l = 15 \, \text{cm}$인 정오각형 각기둥의 부피를 계산하세요.
해결방법:

1. 아포템 $a$ 계산: $$a = \frac{6}{2 \times \tan\left(\frac{\pi}{5}\right)} \approx \frac{6}{2 \times 0.7265} \approx 4.13 \, \text{cm}$$
2. 밑면의 면적 $S$ 계산: $$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times 4.13 \approx 61.95 \, \text{cm}^2$$
3. 부피 $V$ 계산: $$V = 61.95 \times 15 \approx 929.3 \, \text{cm}^3$$

예제 2: 육각기둥

문제: 한 변의 길이가 $s = 10 \, \text{cm}$, 아포템 $a = 8.66 \, \text{cm}$, 높이가 $l = 20 \, \text{cm}$인 정육각형 각기둥의 부피를 구하시오.
해결방법:

1. 밑면의 면적 $S$ 계산: $$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 \times 8.66 = 259.8 \, \text{cm}^2$$
2. 부피 $V$ 계산: $$V = 259.8 \times 20 = 5196 \, \text{cm}^3$$

예제 3: 삼각기둥

문제: 한 변의 길이 $s = 4 \, \text{m}$, 높이 $l = 10 \, \text{m}$인 정삼각형 각기둥의 부피를 계산하세요.
해결방법:

1. 아포템 $a$ 계산: $$a = \frac{4}{2 \times \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)} \approx \frac{4}{2 \times 1.732} \approx 1.1547 \, \text{m}$$
2. 밑면의 면적 $S$ 계산: $$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times 1.1547 \approx 6.9282 \, \text{m}^2$$
3. 부피 $V$ 계산: $$V = 6.9282 \times 10 \approx 69.3 \, \text{m}^3$$

역사적 배경

각기둥에 대한 연구는 고대 그리스로 거슬러 올라가며 유클리드와 같은 수학자들이 그 속성을 Elements에서 탐구했습니다. 정다각형 각기둥은 건축에서도 사용되었으며, 예를 들어 육각형 열주는 구조적 효율성을 위해 로마 및 고딕 구조물에 사용되었습니다. “각기둥”이라는 용어 자체는 “톱질된 것”을 의미하는 그리스어 prisma에서 유래했습니다.

자주 묻는 질문

아포템을 모를 경우 각기둥의 부피를 계산하는 방법은 무엇인가요?

측면 길이 $s$를 포함하는 공식을 사용하세요:

한 예로, 측면 $s = 5 \, \text{cm}$, 높이 $l = 12 \, \text{cm}$인 육각기둥($n = 6$)의 경우:

변의 개수 $n$가 부피에 어떤 영향을 미치나요?

$n$이 증가함에 따라 기본 도형이 원에 가까워지고 각기둥은 원통에 가까워집니다. 예를 들어, 100변의 각기둥의 부피는 $\pi r^2 l$에 가까울 것입니다. 여기서 $r$은 외접원의 반지름입니다. 원통의 부피를 계산하려면 원통 부피 계산기를 사용하세요.

변의 길이가 5 cm이고 높이가 12 cm인 팔각기둥의 부피는 얼마인가요?

$n = 8$을 사용해서:

부피를 세제곱미터에서 리터로 변환하는 방법은 무엇인가요?

1 세제곱미터($\text{m}^3$) = 1000리터. 예를 들어, $2.5 \, \text{m}^3 = 2500 \, \text{L}$. 다양한 부피 단위를 변환하려면 부피 변환기를 사용하세요.