정규 피라미드 부피 계산기

정규 피라미드란 무엇인가요?

정규 피라미드는 정다각형을 바닥으로 하는 세 차원 기하학적 형태로, 삼각형 면들이 한 점(꼭짓점)에서 만나게 됩니다. 꼭짓점은 바닥의 중심에 수직으로 위치합니다. 예시로는 이집트 피라미드(사각형 바닥)와 고대 지구라트(직사각형 바닥)가 있습니다.

주요 특성:

• 정규 바닥: 바닥 다각형의 모든 변과 각도가 동일합니다.
• 꼭짓점 정렬: 꼭짓점은 바닥 중심의 정중앙에 있습니다.
• 대칭성: 삼각형 면들(측면)은 합동입니다.

정규 피라미드의 부피 공식

정규 피라미드의 부피 $V$ 는 다음을 사용하여 계산됩니다:

$$V = \frac{1}{3} \times \text{바닥 면적} \times \text{높이}$$

여기서 높이는 꼭짓점에서 바닥까지의 수직 거리입니다.

정다각형의 바닥 면적 공식

1. 삼각형 (3변):

$$\text{바닥 면적} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{변의 길이}^2$$

2. 사각형 (4변):

$$\text{바닥 면적} = \text{변의 길이}^2$$

3. 오각형 (5변):

$$\text{바닥 면적} = \frac{5}{2} \times \text{변의 길이} \times \text{아포테묜}$$

4. 육각형 (6변):

$$\text{바닥 면적} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \text{변의 길이}^2$$

정다각형의 아포테묜 (다각형의 중심에서 변까지의 거리)은 다음과 같습니다:

$$\text{아포테묜} = \frac{\text{변의 길이}}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}$$

부피 계산 예시

예시 1: 사각형 기반의 피라미드

문제: 사각형 기반의 피라미드가 변의 길이가 8cm이고 높이가 12cm입니다. 부피를 찾아보세요.
해결책:

1. 바닥 면적:

$$8^2 = 64 \, \text{cm}^2$$

2. 부피:

$$V = \frac{1}{3} \times 64 \times 12 = 256 \, \text{cm}^3$$

예시 2: 육각형 기반의 피라미드

문제: 육각형 피라미드가 변의 길이가 6cm이고 높이가 15cm입니다. 부피를 계산해 보세요.
해결책:

1. 바닥 면적:

$$\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 36 = 93.53 \, \text{cm}^2$$

2. 부피:

$$V = \frac{1}{3} \times 93.53 \times 15 = 467.64 \, \text{cm}^3$$

예시 3: 오각형 기반의 피라미드

문제: 오각형 피라미드가 변의 길이가 4cm, 아포테묜이 2.75cm, 높이가 10cm입니다. 부피를 구하세요.
해결책:

1. 바닥 면적:

$$\frac{5}{2} \times 4 \times 2.75 = 27.5 \, \text{cm}^2$$

2. 부피:

$$V = \frac{1}{3} \times 27.5 \times 10 = 91.67 \, \text{cm}^3$$

주의 사항

• 높이 vs 경사 높이: 높이는 바닥에 수직이며, 경사 높이는 측면을 따라 난 대각선 거리입니다.
• 단위 일관성: 모든 측정값(변의 길이, 높이)이 동일한 단위인지 확인하세요.
• 역사적 통찰력: 공식 $V = \frac{1}{3} \times \text{바닥 면적} \times \text{높이}$ 는 유클리드의 요소 (제 XII 권)에서 처음 증명되었습니다.

자주 묻는 질문

경사 높이만 알려져 있을 때 부피를 계산하는 방법은?

문제: 사각형 피라미드의 바닥 모서리가 10cm이고 경사 높이가 13cm입니다.
해결책:

1. 피타고라스 정리를 사용하여 수직 높이를 구합니다:

$$h = \sqrt{\text{경사 높이}^2 - \left(\frac{\text{바닥 모서리}}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12 \, \text{cm}$$

2. 부피:

$$V = \frac{1}{3} \times 10^2 \times 12 = 400 \, \text{cm}^3$$

왜 부피 공식에 $\frac{1}{3}$ 을 포함하나요?

요소 $\frac{1}{3}$ 은 피라미드의 부피가 동일한 바닥과 높이를 가진 프리즘의 정확히 3분의 1이기 때문입니다. 이것은 큐브를 세 개의 합동 피라미드로 나눔으로써 증명할 수 있습니다.

변의 길이가 5cm이고 높이가 9cm인 육각형 피라미드의 부피는 얼마입니까?

1. 바닥 면적:

$$\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 5^2 = 64.95 \, \text{cm}^2$$

2. 부피:

$$V = \frac{1}{3} \times 64.95 \times 9 = 194.86 \, \text{cm}^3$$

바닥 변의 수를 바꾸면 부피에 어떤 영향이 있나요?

변의 수를 증가시키는 것(예: 사각형에서 육각형)은 고정된 변의 길이에 대해 바닥 면적을 늘려 부피를 증가시킵니다. 예를 들어 4 cm의 사각형은 16 cm²의 바닥 면적을 가지며, 4 cm의 육각형은 $41.57 \, \text{cm}^2$ 의 바닥 면적을 가집니다.

바닥 변이 3cm이고 높이가 4cm인 정삼각형 피라미드의 부피를 찾아보세요.

바닥 변이 3 cm이고 높이가 4 cm인 정삼각형 피라미드의 부피를 찾으려면 피라미드 부피 공식을 사용하고 알려진 값을 대입하세요.

바닥 면적을 구하세요. 바닥은 변의 길이가 3 cm인 정삼각형입니다. 정삼각형의 면적은 다음을 사용하여 계산됩니다:

$$Area_{\text{base}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$

$a = 3$ 의 값을 대입하고 면적을 구합니다:

$$Area_{\text{base}} = \frac{3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \, \text{cm}^2$$

이제 부피 공식에 바닥 면적과 높이를 대입합니다:

$$V = \frac{1}{3} \times \frac{9 \sqrt{3}}{4} \times 4 = 3 \sqrt{3} \, \text{cm}^3$$

정삼각형 피라미드의 부피는 ${3 \sqrt{3}} \, \text{cm}^3$ 입니다.