테트라헤드론 부피 계산기

테트라헤드론이란?

테트라헤드론은 네 개의 삼각형 면, 여섯 개의 가장자리, 네 개의 꼭짓점이 있는 삼차원 다면체입니다. 이는 모든 일반적인 볼록 다면체 중 가장 단순합니다. 정규 테트라헤드론은 모든 가장자리 길이가 같으며, 모든 면은 정삼각형입니다. 반면, 불규칙 테트라헤드론은 다양한 길이의 가장자리를 가지며 비례삼각형이나 이등변삼각형이 될 수 있는 면을 가집니다. 테트라헤드론은 다섯 플라톤 입체 중 하나로, 고대 그리스 수학자들인 유클리드를 포함한 고대부터 연구되어 왔습니다.

테트라헤드론의 부피 계산 공식

기본 면적과 높이를 사용하는 부피

어떤 테트라헤드론이라도, 기본 면적 $S$와 높이 $h$ (기본에서 반대 꼭짓점까지의 수직 거리)가 알려져 있다면, 부피는 다음과 같습니다:

이 공식은 피라미드의 부피와 유사하며, 정규 및 불규칙 테트라헤드론 모두에 보편적으로 적용됩니다.

정규 테트라헤드론 부피 공식

가장자리 길이 $a$인 정규 테트라헤드론의 경우, 부피 $V$는 다음을 사용하여 계산됩니다:

또는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

이 공식은 테트라헤드론의 가장자리 길이와 높이의 관계를 통해, 대칭성을 이용합니다.

불규칙 테트라헤드론 부피 공식

꼭짓점 $A, B, C, D$로 정의된 불규칙 테트라헤드론의 경우, 하나의 꼭짓점에서 출발하는 벡터의 스칼라 삼중곱을 사용하여 부피를 계산할 수 있습니다. 벡터 $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$가 알려져 있다면, 부피는 다음과 같습니다:

이 방법은 대칭과 상관없이 모든 테트라헤드론에 적용됩니다.

부피 계산 예제

예제 1: 정규 테트라헤드론

문제: 가장자리 길이가 5 cm인 정규 테트라헤드론의 부피를 계산하시오. 해결책:
공식에 $a = 5$ 를 대입:

예제 2: 불규칙 테트라헤드론

문제: 꼭짓점이 $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$, $C(0, 3, 0)$, $D(0, 0, 4)$ 에 있는 테트라헤드론의 부피를 찾아라. 해결책:

1. 꼭짓점 $A$에서 벡터를 정의: $$\vec{AB} = (2, 0, 0), \quad \vec{AC} = (0, 3, 0), \quad \vec{AD} = (0, 0, 4)$$
2. 벡터곱 $\vec{AC} \times \vec{AD}$ 를 계산: $$\vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = (12, 0, 0)$$
3. 점곱 $\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})$ 를 계산: $$(2, 0, 0) \cdot (12, 0, 0) = 2 \times 12 + 0 + 0 = 24$$
4. 부피를 계산: $$V = \frac{1}{6} \times |24| = 4 \, \text{단위}^3$$

예제 3: 기본 면적과 높이를 사용하는 부피

문제: 기본 면적이 24㎠인 삼각형 기반의 테트라헤드론이 있습니다. 기본에서 반대 꼭짓점까지의 높이는 9 cm입니다. 그 부피는 얼마입니까? 해결책:
공식 $V = \frac{1}{3} S h$ 를 사용:

참고 사항

1. 불규칙 테트라헤드론의 경우, 벡터는 동일한 꼭짓점에서 정의해야 합니다.
2. 단위는 일관성이 있어야 합니다 (예: 모든 가장자리를 cm 단위로).
3. 정규 테트라헤드론의 부피 공식은 일반적인 스칼라 삼중곱 방법의 특별한 경우입니다.
4. 공식 $V = \frac{1}{3} S h$ 는 기본 모양이 알려져 있지만 테트라헤드론이 정규가 아닌 경우 특히 유용합니다.
5. 온라인 계산기는 이러한 계산을 자동화하여 수동 오류를 줄입니다.

자주 묻는 질문

가장자리 길이가 정규 테트라헤드론의 부피에 어떻게 영향을 미칩니까?

정규 테트라헤드론의 부피는 가장자리 길이의 세제곱에 비례합니다. 예를 들어, 가장자리 길이를 두 배로 늘리면 부피가 $2^3 = 8$ 배 증가합니다.

불규칙 테트라헤드론의 부피가 0일 수 있습니까?

예. 네 꼭짓점이 동일한 평면에 있는 경우, 스칼라 삼중곱이 0이 되어 부피가 0이 됩니다.

정규와 불규칙 테트라헤드론의 차이점은 무엇입니까?

정규 테트라헤드론은 모든 가장자리가 같고 정삼각형 면을 가지지만, 불규칙 테트라헤드론은 가장자리 길이가 다르며 비 정삼각형 면을 가집니다.

부피 계산을 위해 스칼라 삼중곱을 어떻게 사용합니까?

1. 한 꼭짓점을 원점으로 선택합니다.
2. 이 꼭짓점에서 다른 세 꼭짓점으로의 벡터를 계산합니다.
3. 이 벡터들의 스칼라 삼중곱을 계산합니다.
4. 절대 결과를 6으로 나누어 부피를 구합니다.

정규 테트라헤드론 공식의 분모는 왜 $6\sqrt{2}$ 입니까?

$\sqrt{2}$라는 항은 테트라헤드론 기하학의 피타고라스 관계에서 나타나며, 분모 6이 결과를 단위 부피에 맞도록 스케일링합니다.