30 60 90 삼각형 계산기

30 60 90 삼각형이란?

30 60 90 삼각형은 고유한 성질을 가진 특수한 직각삼각형으로, 기하학적 및 실용적인 적용에서 중요성이 있습니다. 각도는 30°, 60°, 90°로 구성되며, 이 특정 각도 비율은 특정한 변 비율을 보장합니다. 이러한 비례 덕분에 30 60 90 삼각형은 공학, 건축 및 다양한 계산에서 자주 사용됩니다.

30 60 90 삼각형의 특징과 속성

1. 변의 비율:

• 30° 각도에 대칭인 변은 빗변의 절반입니다.
• 60° 각도에 대칭인 변은 빗변의 절반의 $\sqrt{3}$ 배입니다.

2. 단위 비율:

• 만약 빗변의 길이가 $c$라면, 30° 각도에 대칭인 변의 길이는 $\frac{c}{2}$입니다.
• 60° 각도에 대칭인 변의 길이는 $\frac{c \sqrt{3}}{2}$입니다.

이러한 명확한 비율 덕분에, 30 60 90 삼각형의 변을 구하는 문제는 쉽게 정확하게 해결됩니다.

공식

이제 이러한 특성을 활용하여 삼각형의 다양한 매개변수를 계산하는 방법을 살펴보겠습니다.

1. 만약 변 $a$ (30° 각도에 대칭인)가 알려진 경우:

• 빗변 $c$:

  $$c = 2a$$

• 넓이 $S$:

  $$S = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2$$

• 둘레 $P$:

  $$P = (3 + \sqrt{3})a$$

2. 만약 빗변 $c$가 알려진 경우:

• 변 $a$:

  $$a = \frac{c}{2}$$

• 다른 변 $b$ (60° 각도에 대칭인):

  $$b = a \cdot \sqrt{3} = \frac{c\sqrt{3}}{2}$$

• 넓이 $S$:

  $$S = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2$$

• 둘레 $P$:

  $$P = \left(3 + \sqrt{3}\right) \frac{c}{2}$$

3. 만약 둘레 $P$가 알려진 경우:

• 변 $a$:

  $$a = \frac{P}{3 + \sqrt{3}}$$

• 빗변 $c$:

  $$c = \frac{2P}{3 + \sqrt{3}}$$

• 넓이 $S$:

  $$S = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{P}{3 + \sqrt{3}}\right)^2$$

4. 만약 넓이 $S$가 알려진 경우:

• 변 $a$:

  $$a = \sqrt{\frac{2S}{\sqrt{3}}}$$

• 빗변 $c$:

  $$c = 2a = 2\sqrt{\frac{2S}{\sqrt{3}}}$$

• 둘레 $P$:

  $$P = (3 + \sqrt{3}) \sqrt{\frac{2S}{\sqrt{3}}}$$

예시

예시 1: 알려진 변 $a = 4$

1. 빗변 $c$:

   $$c = 2a = 2 \cdot 4 = 8$$

2. 넓이 $S$:

   $$S = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 8\sqrt{3} \approx 13.86$$

3. 둘레 $P$:

   $$P = (3 + \sqrt{3})a = (3 + \sqrt{3}) \cdot 4 = (3 + 1.732) \cdot 4 \approx 4 \cdot 4.732 \approx 18.93$$

예시 2: 알려진 빗변 $c = 10$

1. 변 $a$:

   $$a = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

2. 다른 변 $b$:

   $$b = a \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot \sqrt{3} \approx 5 \cdot 1.732 \approx 8.66$$

3. 넓이 $S$:

   $$S = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2 = \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot 100 = 12.5\sqrt{3} \approx 21.65$$

4. 둘레 $P$:

   $$P = \left(3 + \sqrt{3}\right) \frac{c}{2} = \left(3 + 1.732\right) \cdot 5 \approx 4.732 \cdot 5 \approx 23.66$$

예시 3: 알려진 둘레 $P = 30$

1. 변 $a$:

   $$a = \frac{P}{3 + \sqrt{3}} = \frac{30}{3 + 1.732} \approx \frac{30}{4.732} \approx 6.34$$

2. 빗변 $c$:

   $$c = \frac{2P}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 30}{3 + 1.732} \approx \frac{60}{4.732} \approx 12.68$$

3. 넓이 $S$:

   $$S = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{30}{3 + \sqrt{3}}\right)^2 \approx \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 40.12 \approx 34.81$$

예시 4: 알려진 넓이 $S = 10$

1. 변 $a$:

   $$a = \sqrt{\frac{2S}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 10}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{20}{\sqrt{3}}} \approx \sqrt{11.55} \approx 3.39$$

2. 빗변 $c$:

   $$c = 2a \approx 2 \cdot 3.39 \approx 6.78$$

3. 둘레 $P$:

   $$P = (3 + \sqrt{3}) a = (3 + 1.732) \cdot 3.39 \approx 4.732 \cdot 3.39 \approx 16.08$$

자주 묻는 질문

빗변이 알려졌을 때 변을 찾는 방법은?

빗변 $c$이 알려졌다면, 30° 각도에 대칭인 변 $a$는 $\frac{c}{2}$이고, 60° 각도에 대칭인 변 $b$는 $\frac{c \sqrt{3}}{2}$입니다.

이 삼각형은 건축 및 다른 분야에서 사용될 수 있나요?

네, 계산의 안정성과 간단함으로 인해 건축 및 디자인에서 자주 사용됩니다. 30 60 90 삼각형은 다양한 유형의 레이아웃, 건설 및 심지어 3차원 도형 제작에서도 사용됩니다.

이 삼각형을 사용할 때의 장점은 무엇인가요?

구조 설계에서 계산을 쉽게 할 수 있으며, 결과의 정확성을 보장합니다.

45 45 90 삼각형의 유사한 값을 계산하는 방법은?

다른 유형의 직각삼각형인 45 45 90 삼각형에 대한 유사한 계산을 위해서는 이 계산기를 사용할 수 있습니다.