수학

45 45 90 삼각형 계산기

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45 45 90 삼각형이란?

45 45 90 삼각형, 또는 이등변 직각삼각형은 기하학에서 특별한 관심을 끄는 독특한 속성을 가지고 있습니다. 이 종류의 특별한 삼각형은 45°, 45°, 90°의 각도를 가집니다. 이 삼각형은 대칭적이므로 두 변의 길이가 같습니다.

특징

이 기하학적 도형은 그 단순하지만 우아한 구조로 주목받습니다. 주된 특징은 다음과 같습니다:

  • 변의 평등: 45 45 90 삼각형에서는 두 변의 길이가 같아서 삼각형의 치수를 공부하고 계산하는 과정이 단순해집니다.

  • 변의 비율: 빗변의 길이는 변의 길이에 루트2를 곱한 것과 같습니다(c=a2c = a\sqrt{2}, 여기서 aa는 변의 길이이고, cc는 빗변의 길이입니다).

  • 직각: 빗변은 항상 90° 각도를 마주하고 있어 삼각법을 사용한 계산에 중요합니다.

45 45 90 삼각형의 속성

  • 대칭성: 각도와 변이 같아 이 삼각형은 대칭적이며, 분석이 단순해집니다. 삼각형은 90° 각도의 이등분선에 대해 대칭적이어서 거울 반사의 속성을 사용할 수 있습니다.

  • 삼각함수: 45° 각들의 사인과 코사인은 모두 22\frac{\sqrt{2}}{2} (대략 0.7071)입니다.

  • 면적 및 둘레: 단순한 비율과 공식을 통해 면적과 둘레도 쉽게 계산할 수 있습니다.

공식

변을 알고 있는 경우의 공식

aa가 알려진 경우, 빗변, 면적, 둘레를 다음과 같은 방법으로 찾을 수 있습니다:

  1. 빗변: c=a2c = a\sqrt{2}
  2. 면적: S=a22S = \frac{a^2}{2}
  3. 둘레: P=2a+a2P = 2a + a\sqrt{2}

빗변을 알고 있는 경우의 공식

빗변 cc이 알려진 경우, 변, 면적, 둘레를 다음과 같은 방법으로 찾을 수 있습니다:

  1. : a=c2a = \frac{c}{\sqrt{2}}
  2. 면적: S=c24S = \frac{c^2}{4}
  3. 둘레: P=2(c2)+c=c(1+22)=c(1+2)P = 2 \left(\frac{c}{\sqrt{2}}\right) + c = c\left(1 + \frac{2}{\sqrt{2}}\right) = c(1 + \sqrt{2})

면적을 알고 있는 경우의 공식

면적 AA가 알려진 경우, 변, 빗변, 둘레를 다음과 같은 방법으로 찾을 수 있습니다:

  1. : a=2×Aa = \sqrt{2 \times A}
  2. 빗변: c=4×Ac = \sqrt{4 \times A}
  3. 둘레: P=2a+c=22×A+4×AP = 2a + c = 2\sqrt{2} \times A + \sqrt{4 \times A}

둘레를 알고 있는 경우의 공식

둘레 PP가 알려진 경우, 변, 빗변, 면적을 다음과 같은 방법으로 찾을 수 있습니다:

  1. : a=P2+2a = \frac{P}{2 + \sqrt{2}}
  2. 빗변: c=2×ac = \sqrt{2} \times a
  3. 면적: S=a22S = \frac{a^2}{2}

계산 예시

예시 1: 알려진 변

삼각형의 변 중 하나가 5 cm라고 가정해보겠습니다. 빗변, 면적, 둘레를 찾으세요:

  1. 빗변: c=527.07c = 5\sqrt{2} \approx 7.07 cm
  2. 면적: S=522=12.5S = \frac{5^2}{2} = 12.5 제곱 cm
  3. 둘레: P=2×5+5217.07P = 2 \times 5 + 5\sqrt{2} \approx 17.07 cm

예시 2: 알려진 빗변

삼각형의 빗변이 10 cm라면, 변, 면적, 둘레를 찾으세요:

  1. 변: a=1027.07a = \frac{10}{\sqrt{2}} \approx 7.07 cm
  2. 면적: S=1024=25S = \frac{10^2}{4} = 25 제곱 cm
  3. 둘레: P=10+2×7.0724.14P = 10 + 2 \times 7.07 \approx 24.14 cm

예시 3: 알려진 면적

45 45 90 삼각형의 면적이 18 제곱 cm라고 가정해보겠습니다. 변의 길이, 빗변, 둘레를 찾으세요:

  1. 변: a=2×18=36=6a = \sqrt{2 \times 18} = \sqrt{36} = 6 cm
  2. 빗변: c=628.49c = 6\sqrt{2} \approx 8.49 cm
  3. 둘레: P=2×6+6220.49P = 2 \times 6 + 6\sqrt{2} \approx 20.49 cm

예시 4: 알려진 둘레

45 45 90 삼각형의 둘레가 24 cm라고 가정해보겠습니다. 변의 길이, 빗변, 면적을 찾으세요:

  1. 변: a=242+27.03a = \frac{24}{2 + \sqrt{2}} \approx 7.03 cm
  2. 빗변: c=7.0329.94c = 7.03 \cdot \sqrt{2} \approx 9.94 cm
  3. 면적: S=7.032224.71S = \frac{7.03^2}{2} \approx 24.71 제곱 cm

노트

  • 45 45 90 삼각형은 기하학과 삼각법에서 기본 요소이며, 문제 해결 및 모델 구축에 자주 사용됩니다.
  • 단순한 관계 및 비율로 인해, 이 삼각형은 건축 및 디자인, 자연 형태 및 구조에서 자주 볼 수 있습니다.

자주 묻는 질문

빗변이 알려진 경우 변을 어떻게 찾나요?

빗변 cc가 알려진 경우, 변 aa는 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다: a=c2a = \frac{c}{\sqrt{2}}.

왜 빗변이 a2a\sqrt{2}와 같나요?

빗변이 a2a\sqrt{2}와 같은 이유는 피타고라스의 정리와 변의 평등성 때문입니다. 정리는 다음과 같이 말합니다: c2=a2+a2=2a2c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2, 따라서 c=a2c = a\sqrt{2}입니다.

변이 알려진 경우 삼각형의 면적을 어떻게 찾나요?

aa가 알려진 경우, 면적은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다: S=a22S = \frac{a^2}{2}.

45 45 90 이외의 다른 각도를 가진 삼각형이 동일한 특성을 가지고 있나요?

아니요, 오직 45 45 90 삼각형만이 변이 같고 빗변과 변 간의 단순 관계와 같은 독특한 특성을 가지고 있습니다.

45 45 90 삼각형이 실용적인 응용에 사용될 수 있나요?

네, 대칭성과 용이한 계산 덕분에, 45 45 90 삼각형은 건설, 디자인 프로젝트 및 다양한 엔지니어링 작업에서 자주 사용됩니다.