삼각 프리즘 용적 계산기

삼각 프리즘이란 무엇인가요?

삼각 프리즘은 두 개의 동일한 삼각형 밑변과 세 개의 직사각형 옆면을 가진 3차원 고체 물체입니다. 이는 길이에 수직한 단면이 삼각형인 프리즘의 예입니다. 삼각 프리즘은 기하학에서 자주 나타나며 건축, 예술 및 공학과 같은 다양한 분야에서 응용됩니다. 삼각 프리즘의 용적을 찾고자 할 때, 당신은 기본적으로 그것이 차지하는 공간의 크기를 계산하는 것입니다.

삼각 프리즘의 유형

1. 규칙적인 삼각 프리즘: 두 삼각형 밑변이 모두 정삼각형입니다.
2. 불규칙적인 삼각 프리즘: 밑변은 모든 삼각형이 될 수 있으며, 이등변삼각형이나 부등변삼각형도 포함됩니다.
3. 직각 삼각 프리즘: 일반적으로 직각삼각형 밑변을 가진 프리즘을 말합니다.

용적 계산

삼각 프리즘의 용적은 아래에 명시된 다양한 매개변수를 사용하여 계산할 수 있습니다. 삼각 프리즘의 용적에 대한 기본 공식은 다음과 같습니다:

$$V = S_{\text{base}} \times L$$

여기서 $V$는 용적이고, $S_{\text{base}}$는 삼각형 밑변의 면적이며, $L$은 프리즘의 길이입니다.

1. 프리즘의 길이와 삼각형의 세 변을 사용하여

삼각형의 변이 $a$, $b$, $c$일 때, 면적 $S_{\text{base}}$는 해론의 공식을 사용하여 결정할 수 있습니다:

$$s = \frac{a + b + c}{2}$$ $$S_{\text{base}} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

따라서 용적은:

$$V = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \times L$$

2. 프리즘의 길이, 두 변, 및 포함 각도를 사용하여

삼각형의 변이 $a$, $b$이고, 포함 각도가 $\theta$일 때, 면적 $A_{\text{base}}$는 다음과 같습니다:

$$S_{\text{base}} = \frac{1}{2} a b \sin(\theta)$$

따라서 용적은:

$$V = \frac{1}{2} a b \sin(\theta) \times L$$

3. 프리즘의 길이, 두 각도, 및 포함 변을 사용하여

주어진 변 $a$와 각도 $\alpha$ 및 $\beta$에 대하여, 세 번째 각도 $\gamma$는 다음을 사용하여 찾을 수 있습니다:

$$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$$

사인법칙을 사용한 면적은:

$$S_{\text{base}} = \frac{a^2 \sin(\alpha) \sin(\beta)}{2 \sin(\gamma)}$$

용적은 다음과 같습니다:

$$V = \frac{a^2 \sin(\alpha) \sin(\beta)}{2 \sin(\gamma)} \times L$$

4. 프리즘의 길이, 밑변 및 높이를 사용하여

밑변 $b$와 높이 $h$가 알려진 삼각형의 경우:

$$S_{\text{base}} = \frac{1}{2} b h$$

따라서 용적은:

$$V = \frac{1}{2} b h \times L$$

예제

예제 1: 규칙적인 삼각 프리즘

밑변이 6cm, 6cm, 6cm인 정삼각형 기반의 규칙적인 삼각 프리즘과 길이가 10cm입니다.

• 반둘레를 계산합니다: $s = \frac{6 + 6 + 6}{2} = 9 \text{ cm}$
• 해론의 공식을 사용하여: $$S_{\text{base}} = \sqrt{9(9-6)(9-6)(9-6)}$$ $$S_{\text{base}} = \sqrt{9 \times 3 \times 3 \times 3} = 9 \sqrt{3} \text{ cm}^2$$
• 용적: $$V = 9 \sqrt{3} \times 10 = 155.9 \text{ cm}^3$$

예제 2: 불규칙적인 삼각 프리즘

밑변이 8cm, 5cm, 7cm인 삼각형 기반의 프리즘과 길이가 12cm입니다.

• $s = \frac{8 + 5 + 7}{2} = 10 \text{ cm}$
• 해론의 공식: $$S_{\text{base}} = \sqrt{10(10-8)(10-5)(10-7)} = \sqrt{10 \times 2 \times 5 \times 3} \approx 17.32 \text{ cm}^2$$
• 용적: $$V = 17.32 \times 12 = 207.85 \text{ cm}^3$$

예제 3: 직각 삼각 프리즘

밑변이 5cm이고 높이가 6cm인 삼각형 기반의 프리즘과 길이가 15cm입니다.

• $S_{\text{base}} = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 = 15 \text{ cm}^2$
• 용적: $$V = 15 \times 15 = 225 \text{ cm}^3$$

참고 사항

• 계산하기 전에 모든 측정값이 동일한 단위로 되어 있는지 확인하세요.
• 삼각 함수를 계산할 때 각도가 필요한 대로 올바른 단위(도 또는 라디안)인지 확인하세요.
• 해론의 공식을 사용할 때 부동 소수점 계산에 주의하여 정밀도 오류를 피하세요.

자주 묻는 질문

알려진 변 길이로 삼각 프리즘의 용적을 어떻게 계산하나요?

삼각형의 세 변이 알려진 경우, 해론의 공식을 사용하여 삼각형 밑변의 면적을 찾아 프리즘의 길이와 곱하십시오.

삼각 프리즘은 몇 개의 면을 가지고 있나요?

삼각 프리즘은 두 개의 삼각형 밑변과 세 개의 직사각형 옆면을 포함하여 다섯 개의 면을 가지고 있습니다.

규칙적인 삼각 프리즘과 불규칙적인 삼각 프리즘의 차이는 무엇인가요?

규칙적인 삼각 프리즘은 밑변이 정삼각형인 반면, 불규칙적인 삼각 프리즘은 모든 삼각형의 형태를 가진 밑변을 가질 수 있습니다.

삼각형의 가장 긴 변보다 프리즘의 길이가 짧을 수 있나요?

예, 프리즘의 길이(일반적으로 다양한 방향에서 높이에 해당되는 것)는 삼각형 밑변의 변 중 하나보다 짧거나 길거나 동일할 수 있습니다.