삼각 피라미드 체적 계산기

삼각 피라미드란 무엇인가요?

삼각 피라미드는 테트라헤드론(Tetrahedron)이라고도 불리며, 삼각형의 밑면을 가지고 있으며 세 개의 삼각형 면이 한 꼭짓점으로 수렴하는 3차원 기하학적 도형입니다. 이 꼭짓점은 밑면의 평면에 있지 않습니다. 삼각 피라미드는 다면체의 일종으로, 네 개의 삼각 면, 여섯 개의 모서리, 네 개의 꼭짓점으로 구성됩니다.

삼각 피라미드 체적 공식

삼각 피라미드의 체적 $V$은 피라미드의 알려진 매개변수에 따라 여러 방법으로 찾을 수 있습니다:

1. 밑면적과 높이를 기반으로 한 체적

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{base}} \times H$ 여기서:

• $S_{\text{base}}$는 삼각형 밑면의 면적
• $H$는 밑면에서 정점까지의 피라미드의 높이

2. 밑변의 세 변이 알려진 경우의 체적

밑변의 세 변 $a$, $b$, $c$이 알려져 있고 피라미드의 높이 $H$가 주어질 때, 우리는 헤론의 공식을 사용하여 밑면적을 계산합니다:

1. 반둘레 $s$계산하기: $s = \frac{a + b + c}{2}$
2. 헤론 공식 사용하여 밑면적 $S_{\text{base}}$계산하기: $S_{\text{base}} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
3. 볼륨 공식에 $S_{\text{base}}$ 대입하기: $V = \frac{1}{3} \times \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \times H$

3. 두 변과 포함된 각도로 체적 계산

밑면의 두 변 $a$와 $b$와 포함된 각도 $\alpha$가 주어졌을 때: $S_{\text{base}} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\alpha)$ 그런 다음 이 면적을 체적 공식에 사용합니다.

4. 한 변과 두 인접 각을 통해 체적 계산

밑면의 한 변 $b$과 인접한 두 각 $\alpha$와 $\beta$가 주어졌을 때, 사인 법칙을 사용하여 밑면적을 찾습니다: $S_{\text{base}} = \frac{b^2 \times \sin(\alpha) \times \sin(\beta)}{2 \times \sin(\alpha + \beta)}$ 이를 체적 공식에 활용합니다.

5. 밑면 높이와 한 변이 알려진 경우체적

밑면 높이 $h_{\text{base}}$와 삼각형 밑면의 한 변 $b$이 주어졌을 때: $S_{\text{base}} = \frac{1}{2} \times b \times h_{\text{base}}$ 같은 체적 공식에 통합합니다.

정규 및 비정규 삼각 피라미드의 이해

정규 삼각 피라미드 (테트라헤드론)

정규 테트라헤드론은 모든 모서리가 같고 모든 면이 정규 삼각형인 삼각 피라미드입니다. 모서리 길이가 $a$일 때, 체적은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times a^3$

주의: 일부 자료에서는 “정규 삼각 피라미드”라는 용어를 밑면에 정규 삼각형이 있고 측면 각이 같은 피라미드를 나타내지만, 반드시 밑변과 측면의 길이가 같지는 않습니다. 이 경우에, 체적 공식은 피라미드의 높이와 밑면의 면적에 따라 달라집니다.

불규칙 삼각 피라미드 (또는 틀린)

불규칙한 삼각 피라미드에는 다양한 길이의 변이 있으며, 각도나 모서리 측정에서 균일성이 드러나지 않습니다. 체적 계산은 알려진 측정값들, 예를 들어, 다른 변 길이 및 대응되는 높이들을 기반으로 합니다.

삼각 피라미드의 꼭짓점의 좌표가 알려진 경우

삼각 피라미드의 꼭짓점의 좌표가 알려져 있다면, 테트라헤드론 체적 계산기를 사용하여 대체 방법을 사용할 수 있습니다. 3차원 공간에서 꼭짓점의 좌표를 확인함으로써 벡터 수학을 이용하여 계산할 수 있습니다. 이는 피라미드가 높이 및 밑면적의 명확한 측정값과 맞지 않을 때 유용합니다.

체적 계산 예시

예시 1: 알려진 밑면적과 높이

밑면적이 $6 \, \text{cm}^2$이고 높이가 $9 \, \text{cm}$인 삼각형의 체적을 계산해 보겠습니다. $V = \frac{1}{3} \times 6 \times 9 = 18 \, \text{cm}^3$

예시 2: 세 개의 알려진 변의 길이로 체적 구하기

변의 길이가 $a = 3 \, \text{cm}$, $b = 4 \, \text{cm}$, $c = 5 \, \text{cm}$이고 피라미드의 높이가 $10 \, \text{cm}$일 때:

1. 반둘레 계산하기 $s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$
2. 밑면적 $S_{\text{base}} = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6 \, \text{cm}^2$
3. 체적 $V = \frac{1}{3} \times 6 \times 10 = 20 \, \text{cm}^3$

예시 3: 두 개의 변과 포함 각도를 알 때

삼각형의 밑면에서, $a = 5 \, \text{cm}$, $b = 6 \, \text{cm}$, 각도 $\theta = 60^\circ$, 그리고 피라미드의 높이가 $8 \, \text{cm}$일 때:

1. 밑면적 $S_{\text{base}} = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \sin(60^\circ) = \frac{15\sqrt{3}}{2} \, \text{cm}^2$
2. 체적 $V = \frac{1}{3} \times \frac{15\sqrt{3}}{2} \times 8 = 20\sqrt{3} \, \text{cm}^3$

자주 묻는 질문

밑면적과 높이가 알려져 있는 경우 삼각 피라미드의 체적은 얼마입니까?

삼각 피라미드의 체적은 밑면적과 높이의 곱의 3분의 1입니다.

피라미드는 몇 개의 삼각 면을 가지고 있습니까?

삼각 피라미드는 4개의 삼각형 면으로 이루어져 있습니다: 밑면과 세 개의 측면.

삼각 피라미드는 수평 밑면을 가질 수 있습니까?

네, 삼각 피라미드의 밑면은 종종 일반적인 삽화에서 수평이지만, 실제로는 다른 기준면에 대해 어떤 위치에 놓일 수 있습니다.

삼각 피라미드와 테트라헤드론의 차이점은 무엇입니까?

테트라헤드론은 4개의 삼각형 면이 있는 다면체로, 규칙적일 수도(모든 변과 각이 같음) 불규칙적일 수도 있습니다. 삼각 피라미드는 테트라헤드론의 특별한 경우로, 하나의 면이 밑면이고 나머지 세 면이 측면입니다. 따라서 모든 삼각 피라미드는 테트라헤드론이지만, 모든 테트라헤드론이 반드시 지정된 밑면을 가지고 있지는 않습니다.

밑면 에지 길이가 3인 정규 삼각 피라미드의 체적은 얼마입니까?

정규 테트라헤드론이나 정규 삼각 피라미드 (모든 변이 같은 경우)를 위해, 체적은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times a^3$ $a = 3$을 대입하여 계산: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 3^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 27 = \frac{27\sqrt{2}}{12} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

정규 삼각 피라미드의 체적은 3.182 cm³입니다.

주의: “정규 삼각 피라미드”라는 용어가 밑면에 정규 삼각형이 있고 측면 각이 같지만 반드시 밑변과 측면의 모서리가 같은 것은 아닌 피라미드를 나타내는 경우에, 체적 공식은 피라미드의 높이와 밑면의 면적에 따라 다를 것입니다. 이 경우에, 체적 공식은 피라미드의 높이와 밑면의 면적에 따라 다를 것입니다.