절단 피라미드 체적 계산기

절단 피라미드란 무엇인가?

절단 피라미드는 프러스텀이라고도 불리며, 피라미드의 꼭대기를 밑면에 평행한 평면으로 자른 형태의 입체 기하학적 모양입니다. 이렇게 하면 두 개의 평행한 다각형 밑면(원래 밑면과 잘린 꼭대기 부분)이 생기며, 트래페조이드 면으로 연결됩니다. 절단 피라미드는 건축, 엔지니어링, 양동이나 램프갓 같은 일상적인 물체에서 흔히 볼 수 있습니다.

절단 피라미드 체적 공식

절단 피라미드의 체적 $V$는 두 밑면의 면적과 높이(밑면 사이의 수직 거리)를 사용하여 계산할 수 있습니다. 공식은 다음과 같습니다:

여기서:

• $S_1$ = 아랫면의 면적
• $S_2$ = 윗면의 면적
• $h$ = 절단 피라미드의 높이

이 공식은 절단이 평행하게 이루어지고 두 밑면이 모양이 유사할 때(예: 둘 다 정사각형이거나 직사각형인 경우)만 적용됩니다.

단계별 계산 예제

예제 1: 정사각형 밑면

문제:
절단 피라미드의 아랫면 면적이 $100 \, \text{cm}^2$, 윗면 면적이 $25 \, \text{cm}^2$, 높이가 $12 \, \text{cm}$일 때 그 체적을 구하시오.

해결책:

1. 공식을 대입합니다: $$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \left( 100 + 25 + \sqrt{100 \cdot 25} \right)$$
2. 제곱근 항을 간단히 합니다: $$\sqrt{100 \cdot 25} = \sqrt{2500} = 50$$
3. 항들을 결합합니다: $$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot (100 + 25 + 50) = 4 \cdot 175 = 700 \, \text{cm}^3$$

예제 2: 직사각형 밑면

문제:
프러스텀의 아랫면이 $8 \, \text{m} \times 6 \, \text{m}$이고 윗면이 $4 \, \text{m} \times 3 \, \text{m}$입니다. 높이는 $5 \, \text{m}$입니다. 그 체적을 구하시오.

해결책:

1. 면적을 계산합니다: $$S_1 = 8 \cdot 6 = 48 \, \text{m}^2, \quad S_2 = 4 \cdot 3 = 12 \, \text{m}^2$$
2. 공식을 대입합니다: $$V = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot \left( 48 + 12 + \sqrt{48 \cdot 12} \right)$$
3. 제곱근 항을 간단히 합니다: $$\sqrt{576} = 24$$
4. 항들을 결합합니다: $$V = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot 84 = 140 \, \text{m}^3$$

역사적 맥락과 응용

절단 피라미드의 개념은 고대 문명으로부터 유래되었다. 예를 들어:

• 이집트의 피라미드는 종교적이거나 구조적 이유로 꼭대기를 잘라내어 건축되었다.
• 메소포타미아의 지구라트는 층진 절단 피라미드를 닮았다.

현대적 응용:

• 건축: 채광창이나 아트리움을 디자인할 때.
• 엔지니어링: 굴뚝이나 파이프라인 같은 구성 요소의 재료 부피 계산.
• 3D 모델링: 컴퓨터 그래픽에서 줄어드는 형태를 생성.

피해야 할 일반적인 실수

1. 높이와 사선 높이의 혼란: 높이 $h$는 밑면 사이의 수직 거리로, 측면의 길이가 아닙니다.
2. 비평행 밑면: 공식은 밑면이 평행하다고 가정합니다. 그렇지 않다면, 형상은 프러스텀이 아니며 공식은 적용되지 않습니다.
3. 일관되지 않은 단위: 모든 측정값(면적과 높이)이 동일한 단위 시스템을 사용하는지 확인하십시오.

밑면의 면적

절단 피라미드의 밑면의 면적을 계산하려면 다음 계산기를 사용할 수 있습니다:

• 정사각형의 면적
• 직사각형의 면적
• 삼각형의 면적
• 정다각형의 면적
• 사다리꼴의 면적

자주 묻는 질문

계산 전에 단위를 어떻게 변환하나요?

모든 측정을 동일한 단위로 변환합니다. 예를 들어, $S_1 = 2 \, \text{m}^2$이며 $S_2 = 1500 \, \text{cm}^2$일 경우, 공식을 적용하기 전에 $S_2$를 $0.15 \, \text{m}^2$로 변환합니다. 면적 단위 변환을 위해 우리의 면적 단위 변환기를 이용하세요.

왜 공식에 제곱근이 포함되어 있나요?

항 $\sqrt{S_1 \cdot S_2}$는 두 밑면 면적의 “평균”을 선형 확장을 고려하여 기하학적으로 나타냅니다.

밑면이 10x10 cm, 5x5 cm이고 높이가 7 cm인 절단 피라미드의 부피는 얼마인가요?

절단 피라미드의 부피는 408.33 cm³입니다.