Matematyka

Kalkulator pola wycinka kołowego

Zgłoś błąd

Udostępnij kalkulator

Dodaj nasz darmowy kalkulator do swojej strony internetowej

Proszę wprowadzić ważny URL. Obsługiwane są tylko adresy HTTPS.
Użyj jako wartości domyślnych dla osadzonego kalkulatora to, co znajduje się obecnie w polach wprowadzania kalkulatora na stronie.
Kolor z fokusem obręczy wprowadzania, kolor zaznaczonej przełączki, kolor elementu wyboru podczas najechania itp.
Proszę zaakceptować Warunki Użytkowania.
Prévisualisation

Co to jest pole wycinka kołowego?

Pole wycinka kołowego to część całkowitego pola koła ograniczona przez łuk i dwa promienie wychodzące z jego środka. Wizualnie, wycinek przypomina kawałek pizzy lub tarta. Obliczanie pola wycinka jest kluczowe w geometrii, ponieważ pozwala dokładnie określić wartość określonej części koła na podstawie jego promieni i kąta.

Kluczowe pojęcia geometryczne dotyczące koła

Aby zrozumieć i obliczyć pole wycinka, warto znać następujące pojęcia geometryczne:

  • Promień (r) — odległość od środka koła do dowolnego punktu na jego obwodzie.
  • Średnica (d) — linia prosta przechodząca przez środek koła i łącząca dwa przeciwległe punkty na jego obwodzie. Średnica jest podwójną wartością promienia: d=2rd = 2r.
  • Kąt środkowy — kąt z wierzchołkiem w środku koła, którego ramiona przecinają dwa punkty na obwodzie, definiując tym samym dany wycinek.
  • Długość łuku (L) — długość zakrzywionego wycinka stanowiącego część obwodu koła.
  • Cięciwa (c) — linia prosta łącząca dwa punkty na obwodzie koła. W wycinku cięciwa łączy końce łuku.
  • Radian — jednostka miary kąta, definiowana jako miara kąta, w którym długość łuku jest równa promieniowi koła.

Zastosowanie pola w życiu codziennym

Zrozumienie pola wycinka kołowego ma wiele praktycznych zastosowań w życiu. W rolnictwie, takie obliczenia można wykorzystać przy projektowaniu pola nawadnianego w kształcie koła, co pozwala precyzyjnie oszacować powierzchnię objętą konkretnym systemem nawadniania.

W procesach produkcyjnych i projektowych, na przykład przy tworzeniu kopuł lub łuków, wycinki stanowią podstawowe elementy konstrukcyjne. W medycynie i biologii podobne obliczenia mogą być wykorzystywane do oceny rozmiaru obszarów dotkniętych w organach lub tkankach o kolistych strukturach.

W infrastruktu­rze transportowej wycinki służą do projektowania skrzyżowań i zakrętów drogowych, co pozwala na efektywniejsze wykorzystanie przestrzeni i zwiększenie bezpieczeństwa. W astronomii obliczenia dotyczące pól wycinków pomagają w szacowaniu rozmiaru i kształtu ciał niebieskich po zmianie ich struktury. W oprogramowaniu do wizualizacji danych wykresy kołowe są używane do wizualnego przedstawiania proporcji w zestawie danych.

Wzory

Pole wycinka można obliczyć na różne sposoby, w zależności od znanych parametrów koła i samego wycinka.

  1. Gdy znany jest promień rr oraz kąt środkowy aa w radianach:

    S=12⋅r2⋅aS = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot a

  2. Dla kąta środkowego aa podanego w stopniach:

    S=a360⋅πr2S = \frac{a}{360} \cdot \pi r^2

  3. Gdy znana jest długość łuku LL:

    S=L⋅r2S = \frac{L \cdot r}{2}

Te wzory zapewniają elastyczność w obliczeniach, w zależności od dostępnych danych.

Przykłady obliczeń

Przykład obliczenia:

Przyjmijmy, że promień koła wynosi 10 cm, a kąt środkowy wynosi 120 stopni. Użyjemy wzoru dla stopni:

S=120360⋅π⋅102=13⋅3,14⋅100=104,72 cm2S = \frac{120}{360} \cdot \pi \cdot 10^2 = \frac{1}{3} \cdot 3,14 \cdot 100 = 104,72 \, \text{cm}^2

Zadanie przykładowe:

Pole koła wynosi 314 cm². Znajdź pole wycinka z kątem środkowym 60 stopni.

Aby znaleźć promień koła, użyjemy wzoru na pole koła:

πr2=314⇒r2=3143,14⇒r=100=10 cm\pi r^2 = 314 \Rightarrow r^2 = \frac{314}{3,14} \Rightarrow r = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}

Następnie obliczamy pole wycinka:

S=60360⋅π⋅102=16⋅3,14⋅100=52,36 cm2S = \frac{60}{360} \cdot \pi \cdot 10^2 = \frac{1}{6} \cdot 3,14 \cdot 100 = 52,36 \, \text{cm}^2

Przykładowe zastosowanie: Tworzenie wzoru na spódnicę

Załóżmy, że chcemy stworzyć wzór na okrągłą spódnicę i musimy określić pole materiału dla wycinka z kątem środkowym 180 stopni (półkole). W tym przypadku promień spódnicy rr wynosi 70 cm:

Wzór na pole wycinka z kątem 180 stopni:

S=180360⋅π⋅702=12⋅3,14⋅4900=7697 cm2S = \frac{180}{360} \cdot \pi \cdot 70^2 = \frac{1}{2} \cdot 3,14 \cdot 4900 = 7 697 \, \text{cm}^2

Te obliczenia pomagają określić ilość materiału potrzebnego do uszycia spódnicy.

Uwagi

  1. Pełne pole koła jest obliczane dla kąta środkowego 360 stopni lub 2π2\pi radianów.
  2. Promień i kąt muszą być dodatnie, aby wzory były poprawne.
  3. Wynik obliczeń może wymagać zaokrąglenia, w zależności od kontekstu zadania.
  4. Jednostki miary promienia i uzyskanego pola powinny być zgodne dla poprawnych obliczeń.

Najczęściej zadawane pytania

Jak przeliczyć kąt wycinka ze stopni na radiany?

Aby przeliczyć kąt z jednostek stopni na radiany, użyj wzoru: θrad=θdeg⋅π180\theta_{rad} = \theta_{deg} \cdot \frac{\pi}{180}. Dla konwersji w drugą stronę: θdeg=θrad⋅180π\theta_{deg} = \theta_{rad} \cdot \frac{180}{\pi}.

Dlaczego pomiar kąta wycinka jest istotny?

Pomiar kąta wycinka określa część koła, którą obejmuje wycinek, co bezpośrednio wpływa na wartość końcowego pola. Niedokładny pomiar może prowadzić do błędnych wyników.

Czy można obliczyć pole wycinka bez znajomości promienia?

Nie, do obliczenia pola wycinka potrzebny jest promień, ponieważ określa on wielkość koła, z którego wycinek pochodzi.

Czy dokładność liczby π\pi w kalkulatorze ma wpływ na wyniki obliczeń?

Tak, w praktycznych obliczeniach π\pi jest zazwyczaj przybliżone do kilku miejsc po przecinku, co może wpływać na dokładność wyników.

Jakie inne kształty można obliczyć przy użyciu kalkulatora online?

Używając specjalistycznych kalkulatorów pola, takich jak Kalkulator pola powierzchni, można obliczać pole nie tylko kół i ich wycinków, ale także kwadratów, prostokątów, trójkątów, trapezów i innych wielokątów, co jest przydatne w projektach budowlanych, remontowych i projektowych.

Podobne kalkulatory

Polityka prywatności Warunki użytkowania