Kalkulator objętości stożka

Co to jest objętość stożka?

Objętość stożka to miara przestrzeni wewnątrz stożka. Jest to istotne dla różnych praktycznych zastosowań, zarówno w matematyce, fizyce, inżynierii, jak i w codziennych sytuacjach, takich jak określenie ilości cieczy, którą może pomieścić pojemnik w kształcie stożka. Objętość zależy od kształtu i wymiarów stożka, czy jest to stożek prosty, ukośny czy ścięty.

Zrozumienie, jak obliczać te różne objętości, wymaga zapoznania się z ich definicjami oraz specyficznymi parametrami niezbędnymi do obliczeń:

• Stożek prosty: Stożek taki posiada okrągłą podstawę, a jego wierzchołek jest prostopadły do środka podstawy. Wysokość to odległość prostopadła od podstawy do wierzchołka.
• Stożek ukośny: W tym przypadku wierzchołek nie znajduje się bezpośrednio nad środkiem podstawy, co powoduje, że stożek jest pochylony. Wysokość to nadal odległość prostopadła od podstawy do wierzchołka stożka.
• Stożek ścięty: Kształt taki powstaje, gdy stożek zostaje przecięty, zazwyczaj równolegle do podstawy, usuwając górną część. Ma dwie podstawy: oryginalną podstawę i podstawę ściętą.

Dla każdego typu stożka stosuje się określone wzory do obliczenia objętości, uwzględniając takie elementy jak wysokość i promień podstawy.

Wzór na objętość stożka

Stożek prosty

Dla stożka prostego objętość $V$ można obliczyć za pomocą wzoru:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

• $r$ to promień podstawy.
• $h$ to wysokość stożka.
• $\pi$ to stała (około 3.14159).

Stożek ukośny

Obliczenie objętości stożka ukośnego opiera się teoretycznie na ogólnym wzorze na objętość stożka. Kiedy wysokość ($h$) oraz promień podstawy ($r$) są zadane od środka podstawy prostopadle do wierzchołka, stosuje się ten sam wzór:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Stożek ścięty

Wzór na objętość stożka ściętego oblicza przestrzeń między dwoma podstawami:

$V = \frac{\pi h}{3} (r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2)$

• $r_1$ to promień dolnej podstawy.
• $r_2$ to promień górnej podstawy (ściętej podstawy).
• $h$ to wysokość prostopadła między podstawami.

Przykłady obliczeń objętości stożka

Przykład 1: Stożek prosty

Załóżmy, że mamy stożek z promieniem podstawy 4 cm i wysokością 9 cm. Jaka jest jego objętość?

Korzystając ze wzoru dla stożka prostego:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (4)^2 (9) = \frac{1}{3} \pi (16) (9) = \frac{1}{3} \pi (144) = 48\pi \approx 150,80 \text{ cm}^3$

Zatem objętość stożka wynosi 150,80 cm³.

Przykład 2: Stożek ukośny

Stożek ukośny ma wysokość 5 cm i promień podstawy 3 cm.

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (5) = \frac{1}{3} \pi (9) (5) = \frac{1}{3} \pi (45) = 15\pi \approx 47,12 \text{ cm}^3$

W tym przypadku objętość stożka ukośnego wynosi 47,12 cm³.

Przykład 3: Stożek ścięty

Rozważmy stożek ścięty z promieniem dolnej podstawy 6 cm i promieniem górnej podstawy 4 cm. Wysokość wynosi 8 cm.

$V = \frac{\pi h}{3} (r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2) = \frac{\pi (8)}{3} ((6)^2 + (6)(4) + (4)^2) = \frac{\pi (8)}{3} (36 + 24 + 16) = \frac{\pi (8)}{3} (76) = \frac{608\pi}{3} \approx 636,7 \text{ cm}^3$

Stąd objętość stożka ściętego wynosi 636,7 cm³.

Fakty o stożkach

1. Definicja: Stożek można zdefiniować jako kształt utworzony przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednego z jego boków. Powierzchnia boczna stożka reprezentuje łuk okręgu tej rotacji.
2. Podstawa i wierzchołek: Stożek składa się z płaskiej podstawy (która jest kołem) i wierzchołka znajdującego się poza płaszczyzną podstawy.
3. Wysokość i wysokość nachylona: Wysokość stożka to odległość prostopadła od wierzchołka do środka podstawy. Wysokość nachylona stożka to odległość od wierzchołka do dowolnego punktu na okręgu podstawy.
4. Rodzaje stożków: Stożek można sklasyfikować jako stożek prosty, jeśli jego wierzchołek znajduje się na linii prostopadłej wyprowadzonej z centrum podstawy, lub stożek ukośny, jeśli wierzchołek nie znajduje się na tej prostopadłej.
5. Przekroje stożka: Przekroje stożka mogą tworzyć różne kształty, takie jak koło (jeśli płaszczyzna przekroju jest równoległa do podstawy), elipsa, parabola lub hiperbola, stanowią podstawę teorii przekrojów stożkowych.
6. Zastosowania: Stożki są często spotykane w rzeczywistości oraz inżynierii, takich jak w kształcie kubków papierowych, rożków do lodów lub w konstrukcji jako elementy struktur.
7. Dźwięk i akustyka: W akustyce, kształt stożka jest wykorzystywany w rogach i instrumentach muzycznych do skupiania lub rozpraszania dźwięku.

Często zadawane pytania

Jak obliczyć objętość stożka ukośnego?

Aby obliczyć objętość stożka ukośnego, należy uwzględnić prostopadłą wysokość od podstawy do wierzchołka, stosując $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.

Ile litrów pomieści stożek ścięty z promieniem podstawy 10 cm, promieniem górnej podstawy 5 cm i wysokością 20 cm?

Najpierw oblicz objętość za pomocą wzoru, a następnie przelicz centymetry sześcienne na litry ($1\text{ litr} = 1000\text{ cm}^3$) w razie potrzeby:

$V = \frac{\pi (20)}{3} ((10)^2 + (10)(5) + (5)^2) = \frac{\pi (20)}{3} (100 + 50 + 25) = \frac{\pi (20)}{3} (175) = \frac{3500\pi}{3} \approx 3 665,19 \text{ cm}^3 = 3,67 \text{ litrów }$

Stożek prosty ma objętość 1000 cm³. Jaka jest jego wysokość, jeśli promień podstawy wynosi 10 cm?

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = 1000 \text{ cm}^3$

$1000 = \frac{1}{3} \pi (10)^2 h$

$1000 = \frac{1}{3} \pi (100) h$

$1000 = \frac{100}{3} \pi h$

$h = \frac{1000 \times 3}{100 \pi} = \frac{3000}{100 \pi} = \frac{30}{\pi} \approx 9,55 \text{ cm}$

Dlaczego obliczanie objętości jest takie samo dla stożka prostego i ukośnego?

Wzór do obliczania objętości zarówno stożka prostego, jak i ukośnego jest identyczny, ponieważ objętość zależy jedynie od pola podstawy oraz wysokości (prostopadłej odległości od wierzchołka do płaszczyzny podstawy), a nie od nachylenia powierzchni bocznej.

Aby to zrozumieć, można zastosować zasadę Cavalieriego z geometrii. Stanowi ona, że jeśli dwa ciała mają tę samą powierzchnię na każdym poziomie przekroju poprzecznego, to ich objętości są równe. Zasada Cavalieriego ma zastosowanie do stożków poprzez następujące kroki:

1. Podstawa i wysokość: Zarówno stożek prosty, jak i ukośny mają podstawę, która jest tym samym kołem z promieniem $r$, wysokość to zaś prostopadła odległość od wierzchołka do płaszczyzny podstawy.

2. Równoległe przekroje: Jeśli przyjmiemy płaszczyznę równoległą do podstawy, która przecina oba stożki na tej samej wysokości, to pola sekcji utworzonych przez tę płaszczyznę będą jednakowe w obu stożkach (będą to podobne koła, przeskalowane zgodnie z wysokością).

Ponieważ taka równoległa płaszczyzna tworzy identyczne sekcje w obu stożkach, zasada Cavalieriego zapewnia, że objętości są równe. Dlatego objętość każdego stożka, niezależnie od tego, czy jest on prosty czy ukośny, jest obliczana za pomocą tej samej formuły.

Czy objętości stożków mogą pomóc w ocenie pojemności codziennych przedmiotów?

Tak, obliczenie objętości cieczy, jaka może zmieścić się w pojemniku w kształcie ściętego stożka lub innych pojemnikach w kształcie stożka, opiera się na wzorze na objętość stożka.