Kalkulator trójkąta równoramiennego

Co to jest trójkąt równoramienny?

Trójkąt równoramienny to figura geometryczna charakteryzująca się posiadaniem dwóch równych boków, zwanych ramionami. Trzeci bok, który jest różny od pozostałych dwóch, nazywany jest podstawą. Istotną właściwością trójkątów równoramiennych jest to, że kąty przeciwległe do równych boków, zwane kątami podstawy, również są równe. Kąt między dwoma równymi bokami nazywany jest kątem wierzchołkowym. Z powodu swojej symetrii trójkąty równoramienne są szeroko stosowane w geometrii i mają wiele interesujących właściwości oraz twierdzeń z nimi związanych.

Co może obliczyć ten kalkulator?

Ten kalkulator pozwala obliczyć boki, wysokości, kąty, pole powierzchni i obwód trójkąta równoramiennego online, pod warunkiem, że znane są pewne parametry. Jeśli potrzebujesz obliczeń dla poszczególnych wartości trójkąta równoramiennego, skorzystaj z kalkulatorów boków, podstawy, wysokości i kątów.

Kluczowe terminy i notacje

• Ramię ($a$): Dwa równe boki trójkąta.
• Podstawa ($b$): Bok, który jest różny od ramion, znajdujący się naprzeciwko wierzchołka.
• Wysokość z wierzchołka ($h_1$): Prostopadła opuszczona z wierzchołka do podstawy (pełni również rolę środkowej i dwusiecznej kąta).
• Wysokość do ramion ($h_2$): Prostopadła opuszczona z kąta podstawy do przeciwległego ramienia.
• Kąt wierzchołkowy ($\beta$): Kąt między dwoma równymi ramionami.
• Kąty podstawy ($\alpha$): Kąty znajdujące się na końcach podstawy.
• Obwód ($P$): Suma długości wszystkich boków trójkąta.
• Pole powierzchni ($S$): Przestrzeń ograniczona przez boki trójkąta.

Właściwości trójkąta równoramiennego

1. Równość ramion: Ramiona (oznaczane jako $a$) są równe długością.
2. Równość kątów podstawy: Kąty podstawy (oznaczane jako $\alpha$) są równe.
3. Przenoszący środkową, wysokość i dwusieczną: Z wierzchołka wysokość, środkowa i dwusieczna pokrywają się i tworzą kąt prosty z podstawą.
4. Równość wysokości do ramion: Wysokości z kątów podstawy do przeciwległych ramion są równe.
5. Równość dwusiecznej kątów podstawy: Dwusieczne kątów podstawy są równe.

Wzory

Oto podstawowe wzory do obliczania niektórych wartości trójkąta równoramiennego:

1. Wzór na obliczenie ramienia $a$:

   $$a = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + h_1^2}$$

2. Wzór na obliczenie podstawy $b$:

   $$b = \sqrt{4a^2 - 4h_1^2}$$

3. Obliczenie wysokości z wierzchołka (środkowej i dwusiecznej) $h_1$:

   $$h_1 = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

4. Wzór na obliczenie wysokości do ramienia $h_2$:

   $$h_2 = a \cdot \sin\left(\beta\right)$$

5. Wyznaczenie kąta wierzchołkowego $\beta$:

   $$\beta = 180^\circ - 2 \cdot \arccos\left(\frac{b}{2a}\right)$$

6. Obliczenie kątów podstawy $\alpha$:

   $$\alpha = \frac{180^\circ - \beta}{2}$$

7. Obliczenie pola $ S $ na podstawie wzorów:

   Znając ramiona i podstawę:

   $$S = \frac{1}{4} \cdot b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}$$

   Znając podstawę i wysokość:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1$$

   Znając ramię i kąt wierzchołkowy:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(\beta)$$

8. Wzór na obliczenie obwodu ($P$):

   $$P = 2a + b$$

   Jeśli znane są podstawa $b$ i wysokość $h_1$, zastąp $a$ we wzorze obwodu:

   $$a = \sqrt{h_1^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

   Jeśli znane są ramię $a$ i kąt wierzchołkowy $\beta$, zastąp $b$:

   $$b = 2a \cdot \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$$

Przykłady

Przykład obliczenia ramienia

Załóżmy, że mamy trójkąt z podstawą $b = 8$ i wysokością z wierzchołka $h_1 = 6$. Obliczamy ramię $a$:

Przykład obliczenia podstawy

Jeśli ramię $a = 5$ i wysokość z wierzchołka $h_1 = 4$, obliczamy podstawę $b$:

Znalezienie kąta wierzchołkowego

Jeśli ramię $a = 10$ i podstawa $b = 16$, znajdujemy kąt wierzchołkowy $\beta$:

Obliczanie pola

Przykład 1: Znajdź pole trójkąta równoramiennego o długości ramienia $a = 5$ cm i długości podstawy $b = 6$ cm.

Używając wzoru:

Podstawiając znane wartości:

Przykład 2: Znajdź pole trójkąta równoramiennego o podstawie $b = 8$ cm i wysokości $h_1 = 5$ cm.

Używając wzoru:

Podstawiając znane wartości:

Przykład 3: Znajdź pole trójkąta równoramiennego o ramieniu $a = 7$ cm i kącie wierzchołkowym $\beta = 45^\circ$.

Używając wzoru:

Podstawiając znane wartości:

Przykład obliczenia obwodu

Przykład 1: Jeśli podstawa trójkąta równoramiennego wynosi 8 cm, a jego wysokość wynosi 6 cm, znajdź obwód.

1. Oblicz ramię:

   $$a = \sqrt{6^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} \approx 7,21 \text{ cm}$$

2. Obwód ($P$):

   $$P = 2 \times 7,21 + 8 = 22,42 \text{ cm}$$

Przykład 2: Jeśli ramię trójkąta równoramiennego wynosi 10 cm, a kąt wierzchołkowy to 60º, znajdź obwód.

1. Oblicz podstawę:

   $$b = 2 \times 10 \cdot \sin\left(30º\right) = 20 \times 0,5 = 10 \text{ cm}$$

2. Obwód ($P$):

   $$P = 2 \times 10 + 10 = 30 \text{ cm}$$

Uwagi

• Trójkąt równoramienny może być trójkątem równobocznym, jeśli wszystkie boki są równe.
• Wysokość pełni również rolę środkowej i dwusiecznej, dzięki swojej symetrii.
• Funkcje trygonometryczne są często używane do obliczania kątów i wysokości.

Często zadawane pytania

Jak oblicza się pole trójkąta równoramiennego?

Pole trójkąta równoramiennego można obliczyć na kilka sposobów:

• Znając podstawę i wysokość: $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1$
• Znając ramię i kąt wierzchołkowy: $S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(\beta)$
• Znając podstawę i jedno ramię: $S = \frac{1}{4} \cdot b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}$

Czy wszystkie wysokości w trójkącie równoramiennym są równe?

Nie, wysokość z wierzchołka jest równa środkowej i dwusiecznej do podstawy, podczas gdy wysokości z kątów podstawy do przeciwległych ramion są równe sobie nawzajem.

Jak znaleźć obwód trójkąta równoramiennego, jeśli ramię ma 7 cm, a podstawa 10,5 cm?

Użyj wzoru: $P = 2a + b$.

W tym przypadku $a = 7$, $b = 10,5$; dlatego $P = 2 \times 7 + 10,5 = 24,5 \text{ cm}$.

Jakie dane są potrzebne do obliczenia obwodu trójkąta równoramiennego?

Do obliczenia obwodu wystarczy długość podstawy oraz jednego ramienia. Wysokość lub kąty mogą być również używane w obliczeniach kombinacyjnych.

Czy wzór Herona może być używany do obliczania pola trójkąta równoramiennego?

Wzór Herona może być bez wątpienia używany do określenia pola, jeśli znane są wszystkie boki trójkąta. Jest on stosowalny do trójkątów równoramiennych, jak i do dowolnych innych trójkątów.