Kalkulator wysokości trójkąta równoramiennego

Co to jest wysokość trójkąta równoramiennego

Wysokość trójkąta równoramiennego to linia prostopadła rysowana od wierzchołka (punkt, w którym przecinają się dwa równe boki) do podstawy lub jej przedłużenia. W trójkącie równoramiennym dwa boki są równej długości (nazywane ramionami), natomiast trzeci bok to podstawa. Wysokość od wierzchołka do podstawy dzieli podstawę na dwie równe części, tworząc dwie równe odcinki i działa jako dwusieczna kąta w wierzchołku. Możesz użyć naszego kalkulatora trójkąta równoramiennego do obliczenia jego pola i obwodu.

Charakterystyka wysokości w trójkącie równoramiennym

W trójkącie równoramiennym wysokość rysowana od wierzchołka do podstawy ma kilka ważnych cech:

• Dzieli podstawę na dwie równe części.
• Działa jako mediana trójkąta.
• Jest dwusieczną kąta w wierzchołku.
• Jest prostopadła do podstawy.

Wysokość od kąta przy podstawie do ramienia ma swoje własne cechy:

• Jest równa wysokości od przeciwległego kąta przy podstawie.
• Tworzy kąt prosty z ramieniem.
• Dzieli ramię na nierówne odcinki.

Wzory do obliczania wysokości

Wysokość z wierzchołka (h₁)

1. Korzystając z ramienia i podstawy: $h_1 = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$

2. Korzystając z pola powierzchni i podstawy: $h_1 = \frac{2A}{b}$

3. Korzystając z kąta przy podstawie i ramienia: $h_1 = a \sin{\alpha}$

Wysokość z kąta przy podstawie (h₂)

1. Korzystając z kąta w wierzchołku i ramienia: $h_2 = a \sin{\beta}$

2. Korzystając z ramienia i podstawy. Na początek stosujemy wzór na wysokość z wierzchołka: $h_2 = a \sin{\beta}$ gdzie obliczenie kąta $\beta$ przeprowadza się jako: $\beta = 180° - 2\alpha$, z $\alpha=\arccos{\left(\frac{b}{2a}\right)}$

3. Korzystając z pola powierzchni i ramienia: $h_2 = \frac{2A}{a}$

Przykładowe obliczenia

Przykład 1

Dane: Ramię $a = 10$ cm, podstawa $b = 12$ cm. Znaleźć: Wysokość z wierzchołka $h_1$

Rozwiązanie: $h_1 = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}} = \sqrt{100 - \frac{144}{4}} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm

Przykład 2

Dane: Pole powierzchni $A = 60 \text{ cm}^2$, podstawa $b = 10 \text{ cm}$ Znaleźć: Wysokość z wierzchołka $h_1$

Rozwiązanie: $h_1 = \frac{2A}{b} = \frac{2 \times 60}{10} = 12$ cm

Przykład 3

Dane: Kąt w wierzchołku $\beta = 36°$, ramię $a = 15 \text{ cm}$ Znaleźć: Wysokość z wierzchołka $h_2$

Rozwiązanie: $h_2 = a \sin{\beta} = 15 \sin{36°} = 15 \times 0,5878 \approx 8,817 \text{ cm}$

Przykład 4

Dane: Pole powierzchni $A = 40 \text{ cm}^2$, ramię $a = 13 \text{ cm}$ Znaleźć: Wysokość z kąta przy podstawie $h_2$

Rozwiązanie: $h_2 = \frac{2A}{a} = \frac{2 \times 40}{13} \approx 6,15 \text{ cm}$

Ważne uwagi

1. Podczas obliczania wysokości, pamiętaj, że w trójkącie równoramiennym:

• Ramiona są równe.
• Kąty przy podstawie są równe.
• Suma wszystkich kątów wynosi 180°.

2. Rozważ związki między elementami trójkąta:

• Gdy $\alpha$ jest kątem przy podstawie, wtedy $\beta = 180° - 2\alpha$
• Gdy $\beta$ jest kątem w wierzchołku, wtedy $\alpha = \frac{180° - \beta}{2}$

3. Wysokość może być rysowana zarówno wewnątrz, jak i na zewnątrz trójkąta, w zależności od kątów:

• Jeśli kąt w wierzchołku jest ostry, wysokość jest wewnątrz trójkąta.
• Jeśli kąt w wierzchołku jest rozwarty, wysokość jest na zewnątrz trójkąta.
• Jeśli kąt w wierzchołku jest prosty, wysokość pokrywa się z ramieniem.

Najczęściej zadawane pytania

Jak znaleźć wysokość trójkąta równoramiennego, jeśli ramię ma długość $a = 17 \text{ cm}$, a kąt przy podstawie wynosi $\alpha = 42°$?

$h_1 = a \sin{\alpha} = 17 \sin{42°} = 17 \times 0,669 \approx 11,37 \text{ cm}$

Jaka jest różnica między wysokością z wierzchołka a wysokością z kąta przy podstawie?

Wysokość z wierzchołka jest mierzona do podstawy i dzieli kąt wierzchołkowy, podczas gdy wysokość od kąta przy podstawie jest mierzona do ramienia i nie ma specjalnych właściwości poza tym, że jest prostopadła do boku.

Czy wysokość trójkąta równoramiennego może być większa niż jego ramię?

Nie, wysokość jest zawsze mniejsza od ramienia, ponieważ działa jako przyprostokątna trójkąta prostokątnego, w którym ramię jest przeciwprostokątną.

Jak zmienia się wysokość trójkąta, jeśli zwiększona zostanie długość podstawy przy stałych ramionach?

Zwiększenie długości podstawy zmniejszy wysokość z wierzchołka, natomiast wysokość od kąta przy podstawie najpierw się zwiększy, a potem zmniejszy.

Jak znaleźć wysokość trójkąta równoramiennego, jeśli pole wynosi $A = 48 \text{ cm}^2$, a podstawa $b = 16 \text{ cm}$?

$h_1 = \frac{2A}{b} = \frac{2 \times 48}{16} = 6 \text{ cm}$

Jaka jest wysokość trójkąta równoramiennego, gdy jego ramiona są równe podstawie?

W takim przypadku trójkąt jest równoboczny, a wysokość oblicza się jako: $h_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ gdzie $a$ to długość boku trójkąta.