Kalkulator objętości wielościanu

Co to jest kalkulator objętości wielościanu?

Kalkulator objętości wielościanu pozwala obliczyć objętość figury na podstawie dwóch różnych kryteriów:

1. Objętość wielościanu, którego wierzchołkami są punkty prostopadłościanu;
2. Figura złożona z dwóch połączonych prostopadlościanów; oblicza całkowitą objętość kształtu 3D utworzonego przez dwa prostopadłościany.

Wzory

Wzór na wielościan wpisany w prostopadłościan

Najpierw określ rodzaj wielościanu wpisanego w prostopadłościan:

1. Jeśli wielościan jest piramidą (np. z podstawą na jednej ścianie prostopadłościanu i wierzchołkiem w przeciwnym rogu), objętość oblicza się jako:

gdzie $S$ to pole podstawy, a $h$ to wysokość (odległość od wierzchołka do podstawy).

2. Jeśli wielościan jest graniastosłupem (np. między dwoma równoległymi ścianami), objętość jest równa:

gdzie $S$ to pole podstawy, a $h$ to wysokość pryzmy.

Wzór na wielościan złożony

Całkowita objętość $V$ złożonego wielościanu jest obliczana jako:

Gdzie:

• $L_1$ i $L_2$: długości (długie boki) pierwszego i drugiego prostopadłościanu.
• $W_1$ i $W_2$: szerokości (krótkie boki) dwóch prostopadłościanów.
• $H$: wspólna wysokość.

Przykłady krok po kroku

Przykład 1: Objętość wielościanu wpisanego w prostopadłościan

Przykład 1: Objętość wielościanu na podstawie wierzchołków równoległościanu

Znajdź objętość wielościanu, którego wierzchołkami są punkty $A, D, A_1, B, C, B_1$ prostopadłościanu $ABCDA_1B_1C_1D_1$, gdzie $AB = 3$, $AD = 4$, $AA_1 = 5$, gdzie $ABCD$ to dolna podstawa prostopadłościanu, a $A_1B_1C_1D_1$ to górna podstawa prostopadłościanu nad odpowiadającymi punktami dolnej podstawy.

1. Określamy, że figura wpisana w prostopadłościan to graniastosłup trójkątny.

2. Obliczamy pole podstawy graniastosłupa:

$S = \frac{1}{2} \times AA_1 \times AD = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10$

3. Znajdujemy objętość graniastosłupa:

$V = S \times h = 10 \times 3 = 30$ W tym przykładzie wysokość graniastosłupa równa się długości boku $AB$.

Uwaga: W rozważanym przykładzie graniastosłup zajmuje dokładnie 1/2 objętości prostopadłościanu, a otrzymany wynik można zweryfikować, obliczając objętość prostopadłościanu: $V = 3 \times 4 \times 5 = 60$, z czego połowa to 30.

Przykład 2: Objętość stołu w kształcie litery L

Stół ma parametry:

• Główna część: $L_1 = 1,8\ \text{m}$, $W_1 = 0,7\ \text{m}$
• Rozszerzenie: $L_2 = 1,2\ \text{m}$, $W_2 = 0,6\ \text{m}$
• Wysokość $H = 0,75\ \text{m}$

Obliczenia:

Tło historyczne

Badanie wielościanów rozpoczęło się w starożytnej Grecji, gdzie Euklides i Archimedes badali ich właściwości. Termin “wielościan” pochodzi od greckich słów poly (wiele) i hedra (twarz). Wielościany złożone, takie jak połączone pryzmy, zyskały na znaczeniu w epoce renesansu do analizy złożonych elementów architektonicznych, takich jak zwieńczone sklepienia i przypory.

Zastosowania

1. Architektura: Obliczanie materiałów dla wielopoziomowych konstrukcji.
2. Logistyka: Projektowanie kontenerów z wieloma przegrodami.
3. Produkcja: Szacowanie przestrzeni dla urządzeń o złożonych kształtach.

Uwagi

• Wszystkie pomiary muszą być z tej samej jednostki (metry, stopy itp.).
• Wzór dla figur złożonych zakłada wspólną wysokość. Jeśli wysokości się różnią, oblicz objętości osobno i dodaj je:

• Ten kalkulator działa tylko dla prostopadłościanów. Dla złożonych kształtów użyj naszego Kalkulatora objętości.
• Dla wielościanów wpisanych w prostopadłościany kalkulator obsługuje figury z 4-6 określonymi wierzchołkami, jeśli znane są wymiary prostopadłościanu.

FAQ

Jak obliczyć objętość, jeśli wysokości pryzm różnią się?

Dla różnych wysokości $H_1$ i $H_2$, oblicz objętości osobno i dodaj je:

Przykład: $L_1 = 4\ \text{m}$, $W_1 = 2\ \text{m}$, $H_1 = 3\ \text{m}$; $L_2 = 3\ \text{m}$, $W_2 = 1\ \text{m}$, $H_2 = 2\ \text{m}$:

Znajdź objętość wielościanu, którego wierzchołkami są punkty $A, B, C, B_1$ prostopadłościanu $ABCDA_1B_1C_1D_1$, gdzie $AB = 3$, $AD = 3$, $AA_1 = 4$.

W tym przypadku zakładamy, że $ABCD$ to dolna podstawa prostopadłościanu, a $A_1B_1C_1D_1$ to górna podstawa prostopadłościanu nad odpowiadającymi punktami dolnej podstawy.

Kroki rozwiązania:

1. Określamy, że figura wpisana w prostopadłościan to ostrosłup trójkątny o znanych wartościach: AB = 3, BC = 3 (jako bok równoległy do AD) i wysokość BB1 = 4 (jako bok równoległy do AA1).

2. Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

$S = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4,5$

3. Znajdujemy objętość ostrosłupa:

$V = \frac{1}{3} \times S \times h = \frac{1}{3} \times 4,5 \times 4 = 6$

Objętość wielościanu o wierzchołkach $A, B, C, B_1$ wynosi 6.

Jak korzystać z kalkulatora?

1. Wybierz typ wielościanu: “Wielościan wpisany w prostopadłościan” lub “Wielościan złożony”.
2. Wybierz liczbu wierzchołków.
3. Wprowadź długość, szerokość i wysokość prostopadłościanu.
4. Kalkulator automatycznie obliczy objętość.

Czy złożone wielościany były używane w architekturze starożytnej?

Tak. Na przykład fundamenty Koloseum w Rzymie łączyły trapezowe i prostokątne bloki, aby rozłożyć obciążenie na nierównym terenie.