Kalkulator objętości pryzmy

Czym jest pryzma?

Pryzma to trójwymiarowy kształt geometryczny z dwiema równoległymi, przystającymi podstawami i prostokątnymi bokami bocznymi. Kształt podstaw determinuje typ pryzmy. Pryzmy są znane z jednostajnego przekroju poprzecznego na całej długości. Typy pryzm obejmują prostokątne, trójkątne oraz te z wielokątnymi podstawami, jak pięciokąty czy sześciokąty.

Typy pryzm

1. Pryzma prostokątna: Ma podstawy w kształcie prostokąta.
2. Pryzma trójkątna: Podstawy są trójkątami.
3. Pryzma z podstawą w postaci regularnego wielokąta: Podstawy są regularnymi wielokątami, jak sześciokąty lub ośmiokąty.
4. Pryzma trapezowa: Podstawy są trapezami.

Wzór

Objętość pryzmy można obliczyć za pomocą ogólnego wzoru. Kluczem do obliczenia tej objętości jest znajomość pola podstawy pryzmy i jej wysokości.

$V = S \times l$

• $V$ to objętość.
• $S$ to pole podstawy.
• $l$ to długość lub wysokość pryzmy, czyli odległość prostopadła między dwiema podstawami.

Pryzma prostokątna

Objętość pryzmy prostokątnej jest prosta do obliczenia, ponieważ jej podstawa jest prostokątem.

Wzór to:

$V = l \times w \times h$

• $l$ to długość.
• $w$ to szerokość.
• $h$ to wysokość.

Pryzma trójkątna

Dla pryzm trójkątnych, podstawa jest trójkątem i obliczanie jego pola wymaga różnych rozważań w zależności od typu trójkąta.

Gdzie $b$ to długość podstawy trójkąta, a $h_{\text{base}}$ to wysokość trójkąta.

Pryzmy z wielokątnymi podstawami

Dla pryzm o regularnych podstawach wielokątnych, pole można obliczyć za pomocą wzoru na regularny wielokąt:

• $n$ to liczba boków.
• $s$ to długość boku.

Pryzma trapezowa

Pryzma z trapezową podstawą ma pole podstawy obliczane poprzez:

• $a$ i $b$ to długości równoległych boków.
• $h_{\text{trap}}$ to wysokość trapezu.

Przykłady

Przykład pryzmy prostokątnej

Rozważmy pryzmę prostokątną o długości 10 cm, szerokości 4 cm i wysokości 5 cm. Objętość wynosi:

$V = 10 \times 4 \times 5 = 200 \, \text{cm}^3$

Przykład pryzmy trójkątnej

Dla pryzmy trójkątnej z długością podstawy 6 cm, wysokością podstawy 3 cm i wysokością pryzmy 10 cm:

$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9 \, \text{cm}^2$ $V = 9 \times 10 = 90 \, \text{cm}^3$

Przykład pryzmy sześciokątnej regularnej

Jeśli masz podstawę sześciokątną o długości boku 2 cm i wysokości pryzmy 10 cm:

$S = \frac{6 \times 2^2}{4 \times \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)} \approx 10,39 \, \text{cm}^2$ $V \approx 10,39 \times 10 = 103,9 \, \text{cm}^3$

Przykład pryzmy trapezowej

Przy podstawie trapezowej z długościami boków równoległych 5 cm i 7 cm, wysokości 4 cm i wysokości pryzmy 12 cm:

$S = \frac{1}{2} \times (5 + 7) \times 4 = 24 \, \text{cm}^2$ $V = 24 \times 12 = 288 \, \text{cm}^3$

Często zadawane pytania

Jak obliczyć objętość pryzmy, jeśli podstawa jest pięciokątem?

Dla podstawy pięciokątnej, oblicz pole, używając:

$S_{\text{pięciokąt}} = \frac{5 \times s^2}{4 \times \tan\left(\frac{\pi}{5}\right)}$

Następnie pomnóż przez długość pryzmy $l$.

Jaka jest objętość pryzmy, jeśli podstawa jest kołem?

Pryzma z podstawą kołową to cylinder. Wzór na obliczenie objętości to:

$V = \pi \times r^2 \times h$

Więcej informacji na temat objętości cylindra można znaleźć w kalkulatorze objętości cylindra.

Ile różnych pryzm może istnieć na podstawie kształtu ich podstaw?

Teoretycznie może istnieć nieskończona liczba pryzm, jeśli weźmiemy pod uwagę dowolny kształt wielokątny dla podstawy. Najczęstsze to pryzmy trójkątne, prostokątne, pięciokątne i sześciokątne.

Jak objętość zmienia się przy podwojeniu wysokości pryzmy?

Podwojenie wysokości pryzmy podwaja jej objętość, ponieważ objętość zależy liniowo od wysokości ($V = S \times l$).

Czy pryzmy zawsze są symetryczne?

Mimo że pryzmy mają przystające podstawy i identyczne boczne ściany pod względem symetrii między podstawami, boczne ściany mogą nie być symetryczne, jeśli weźmiemy pod uwagę inne osie, w zależności od kształtu podstawy.