Kalkulator objętości graniastosłupa regularnego

Czym jest graniastosłup regularny?

Graniastosłup regularny to trójwymiarowa figura geometryczna z dwoma przystającymi podstawami wielokątnymi połączonymi prostokątnymi ścianami. Termin “regularny” oznacza, że podstawa wielokątna jest wielokątem regularnym, co oznacza, że wszystkie jej boki i kąty wewnętrzne są równe. Do powszechnie spotykanych przykładów należą graniastosłupy trójkątne (podstawa: trójkąt), pięciokątne (podstawa: pięciokąt) i sześciokątne (podstawa: sześciokąt). Objętość graniastosłupa zależy od pola jego podstawy i wysokości (odległości prostopadłej między dwiema podstawami).

Wzór na obliczanie objętości graniastosłupa regularnego

Objętość $V$ graniastosłupa regularnego oblicza się za pomocą wzoru:

Gdzie:

• $S$ = Pole podstawy wielokąta
• $l$ = Wysokość (lub długość) graniastosłupa (odległość między podstawami)

Dla wielokąta regularnego z $n$ bokami, z których każdy ma długość $s$, pole $S$ jest dane przez:

Gdzie $a$ jest apotemą (odległość od środka wielokąta do środka jednego z jego boków). Apotem można obliczyć, jeśli znana jest długość boku $s$:

Podstawiając to do wzoru na pole:

Zatem ostateczny wzór na objętość staje się:

Przykłady obliczeń objętości

Przykład 1: Graniastosłup pięciokątny

Problem: Regularny graniastosłup pięciokątny ma długość boku $s = 6 \, \text{cm}$ i wysokość $l = 15 \, \text{cm}$. Oblicz jego objętość.
Rozwiązanie:

1. Oblicz apotemę $a$:

2. Oblicz pole podstawy $S$:

3. Oblicz objętość $V$:

Przykład 2: Graniastosłup sześciokątny

Problem: Regularny graniastosłup sześciokątny ma długość boku $s = 10 \, \text{cm}$, apotemę $a = 8,66 \, \text{cm}$ i wysokość $l = 20 \, \text{cm}$. Znajdź jego objętość.
Rozwiązanie:

1. Oblicz pole podstawy $S$:

2. Oblicz objętość $V$:

Przykład 3: Graniastosłup trójkątny

Problem: Regularny graniastosłup trójkątny ma długość boku $s = 4 \, \text{m}$ i wysokość $l = 10 \, \text{m}$. Określ jego objętość.
Rozwiązanie:

1. Oblicz apotemę $a$:

2. Oblicz pole podstawy $S$:

3. Oblicz objętość $V$:

Kontekst historyczny

Badania nad graniastosłupami sięgają starożytnej Grecji, gdzie matematycy tacy jak Euklides badali ich właściwości w Elementach. Regularne graniastosłupy były również używane w architekturze; na przykład kolumny sześciokątne były stosowane w strukturach rzymskich i gotyckich ze względu na swoją wydajność strukturalną. Termin “graniastosłup” pochodzi z greckiego słowa prisma, oznaczającego “coś piłowanego”.

Często zadawane pytania

Jak obliczyć objętość graniastosłupa, jeśli apotema jest nieznana?

Użyj wzoru zawierającego długość boku $s$:

Dla graniastosłupa sześciokątnego ($n = 6$) z $s = 5 \, \text{cm}$ i $l = 12 \, \text{cm}$:

Jak liczba boków $n$ wpływa na objętość?

W miarę wzrostu $n$, wielokąt podstawy zbliża się do koła, a graniastosłup przypomina cylinder. Na przykład objętość graniastosłupa o 100 bokach byłaby bliska $\pi r^2 l$, gdzie $r$ to promień koła opisanego. Aby obliczyć objętość cylindra, użyj naszego kalkulatora objętości cylindra.

Jaka jest objętość graniastosłupa ośmiokątnego o długości boku 5 cm i wysokości 12 cm?

Używając $n = 8$:

Jak przeliczyć objętość z metrów sześciennych na litry?

1 metr sześcienny ($\text{m}^3$) = 1,000 litrów. Na przykład, $2,5 \, \text{m}^3 = 2\,500 \, \text{L}$. Aby konwertować różne jednostki objętości, użyj naszego konwertera objętości.