Zapisane kalkulatory
Zapisane kalkulatory
Matematyka

Kalkulator objętości ostrosłupa foremnego

Zgłoś błąd

Udostępnij kalkulator

Dodaj nasz darmowy kalkulator do swojej strony internetowej

Proszę wprowadzić ważny URL. Obsługiwane są tylko adresy HTTPS.
Użyj jako wartości domyślnych dla osadzonego kalkulatora to, co znajduje się obecnie w polach wprowadzania kalkulatora na stronie.
Kolor z fokusem obręczy wprowadzania, kolor zaznaczonej przełączki, kolor elementu wyboru podczas najechania itp.
Proszę zaakceptować Warunki Użytkowania.
Prévisualisation

Zapisz kalkulator

Co to jest ostrosłup foremny?

Ostrosłup foremny to trójwymiarowy kształt geometryczny z foremnym wielokątem jako podstawą i trójkątnymi ścianami, które zbiegają się w jednym punkcie zwanym wierzchołkiem. Wierzchołek jest prostopadły do środka podstawy. Przykładami są egipskie piramidy (kwadratowe podstawy) i starożytne zigguraty (prostokątne podstawy).

Kluczowe cechy:

  • Forna podstawa: Wszystkie boki i kąty wielokąta podstawy są równe.
  • Wyrównanie wierzchołka: Wierzchołek znajduje się bezpośrednio nad środkiem podstawy.
  • Symetria: Ściany trójkątne (ściany boczne) są przystające.

Wzór na objętość ostrosłupa foremnego

Objętość VV ostrosłupa foremnego oblicza się za pomocą:

V=13×Pole podstawy×WysokosˊcˊV = \frac{1}{3} \times \text{Pole podstawy} \times \text{Wysokość}

Tutaj wysokość to odległość prostopadła od wierzchołka do podstawy.

Wzory na pole podstawy dla wielokątów foremnych

  1. Trójkąt (3 boki):
Pole podstawy=34×Długosˊcˊ boku2\text{Pole podstawy} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{Długość boku}^2
  1. Kwadrat (4 boki):
Pole podstawy=Długosˊcˊ boku2\text{Pole podstawy} = \text{Długość boku}^2
  1. Pięciokąt (5 boków):
Pole podstawy=52×Długosˊcˊ boku×Apotema\text{Pole podstawy} = \frac{5}{2} \times \text{Długość boku} \times \text{Apotema}
  1. Sześciokąt (6 boków):
Pole podstawy=332×Długosˊcˊ boku2\text{Pole podstawy} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \text{Długość boku}^2

Dla foremnego wielokąta z nn bokami apotema (odległość od środka wielokąta do boku) wynosi:

Apotema=Długosˊcˊ boku2tan⁡(πn)\text{Apotema} = \frac{\text{Długość boku}}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}

Przykłady obliczeń objętości

Przykład 1: Ostrosłup o podstawie kwadratowej

Problem: Ostrosłup o kwadratowej podstawie ma długość boku 8 cm i wysokość 12 cm. Znajdź jego objętość.
Rozwiązanie:

  1. Pole podstawy:
82=64 cm28^2 = 64 \, \text{cm}^2
  1. Objętość:
V=13×64×12=256 cm3V = \frac{1}{3} \times 64 \times 12 = 256 \, \text{cm}^3

Przykład 2: Ostrosłup o podstawie sześciokątnej

Problem: Ostrosłup sześciokątny ma długość boku 6 cm i wysokość 15 cm. Oblicz jego objętość.
Rozwiązanie:

  1. Pole podstawy:
332×62=332×36=93,53 cm2\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 36 = 93,53 \, \text{cm}^2
  1. Objętość:
V=13×93,53×15=467,64 cm3V = \frac{1}{3} \times 93,53 \times 15 = 467,64 \, \text{cm}^3

Przykład 3: Ostrosłup o podstawie pięciokątnej

Problem: Ostrosłup pięciokątny ma długość boku 4 cm, apotemę 2,75 cm i wysokość 10 cm. Określ jego objętość.
Rozwiązanie:

  1. Pole podstawy:
52×4×2,75=27,5 cm2\frac{5}{2} \times 4 \times 2{,}75 = 27{,}5 \, \text{cm}^2
  1. Objętość:
V=13×27,5×10=91,67 cm3V = \frac{1}{3} \times 27{,}5 \times 10 = 91{,}67 \, \text{cm}^3

Notatki

  • Wysokość a wysokość skośna: Wysokość jest prostopadła do podstawy, a wysokość skośna to odległość ukośna wzdłuż ściany bocznej.
  • Jednolitość jednostek: Upewnij się, że wszystkie pomiary (długość boku, wysokość) są w tej samej jednostce.
  • Wgląd historyczny: Wzór V=13×Pole podstawy×WysokosˊcˊV = \frac{1}{3} \times \text{Pole podstawy} \times \text{Wysokość} został po raz pierwszy udowodniony przez Euklidesa w Elementach (Księga XII).

Najczęściej Zadawane Pytania

Jak obliczyć objętość, jeśli znana jest tylko wysokość skośna?

Problem: Ostrosłup kwadratowy ma krawędź podstawy 10 cm i wysokość skośną 13 cm.
Rozwiązanie:

  1. Znajdź wysokość pionową, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
h=Wysokosˊcˊ skosˊna2−(Krawędzˊ podstawy2)2=132−52=12 cmh = \sqrt{\text{Wysokość skośna}^2 - \left(\frac{\text{Krawędź podstawy}}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12 \, \text{cm}
  1. Objętość:
V=13×102×12=400 cm3V = \frac{1}{3} \times 10^2 \times 12 = 400 \, \text{cm}^3

Dlaczego we wzorze na objętość jest 13\frac{1}{3}?

Czynnik 13\frac{1}{3} wynika z tego, że objętość ostrosłupa wynosi dokładnie jedną trzecią objętości graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości. Można to udowodnić, dzieląc sześcian na trzy przystające ostrosłupy.

Jaka jest objętość ostrosłupa sześciokątnego o długości boku 5 cm i wysokości 9 cm?

  1. Pole podstawy:
332×52=64,95 cm2\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 5^2 = 64,95 \, \text{cm}^2
  1. Objętość:
V=13×64,95×9=194,86 cm3V = \frac{1}{3} \times 64,95 \times 9 = 194,86 \, \text{cm}^3

Jak zmiana liczby boków podstawy wpływa na objętość?

Zwiększenie liczby boków (np. z kwadratu na sześciokąt) powiększa pole podstawy przy stałej długości boku, co zwiększa objętość. Na przykład kwadrat (bok 4 cm) ma pole podstawy 16 cm², podczas gdy sześciokąt (bok 4 cm) ma pole podstawy 41,57 cm241,57 \, \text{cm}^2.

Znajdź objętość ostrosłupa trójkątnego foremnego, jeśli bok podstawy wynosi 3 cm, a wysokość 4 cm.

Aby znaleźć objętość ostrosłupa trójkątnego foremnego o boku podstawy 3 cm i wysokości 4 cm, użyj wzoru na objętość ostrosłupa i podstaw podane wartości.

Znajdź pole podstawy. Podstawą jest trójkąt równoboczny o długości boku 3 cm. Pole trójkąta równobocznego jest obliczane przy użyciu:

Areabase=a234Area_{\text{base}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}

Podstaw wartość a=3a = 3 i oblicz pole:

Areabase=3234=934 cm2Area_{\text{base}} = \frac{3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \, \text{cm}^2

Teraz podstaw pole podstawy i wysokość do wzoru na objętość:

V=13×934×4=33 cm3V = \frac{1}{3} \times \frac{9 \sqrt{3}}{4} \times 4 = 3 \sqrt{3} \, \text{cm}^3

Objętość ostrosłupa trójkątnego foremnego wynosi 33 cm3{3 \sqrt{3}} \, \text{cm}^3.

Podobne kalkulatory

Polityka prywatności Warunki użytkowania