Kalkulator boków trójkąta prostokątnego

Trójkąt prostokątny

Trójkąt prostokątny to figura geometryczna składająca się z trzech boków, z których dwa (znane jako przyprostokątne $a$ i $b$) przecinają się pod kątem prostym, tj. $90^\circ$. Trzeci bok, który jest przeciwległy do kąta prostego, nazywany jest przeciwprostokątną i oznaczany jest literą $c$. Trójkąty takie posiadają unikalne właściwości, które pozwalają na rozwiązanie wielu praktycznych problemów - od pomiarów budowlanych po skomplikowane obliczenia inżynieryjne. Jeśli potrzebujesz znaleźć kąty trójkąta prostokątnego, zaleca się użycie kalkulatora kątów. Do obliczania przeciwprostokątnej, przydatny jest kalkulator przeciwprostokątnej.

Historia trójkąta prostokątnego

Pierwsze wzmianki o właściwościach trójkątów prostokątnych można znaleźć w starożytnych tekstach egipskich i babilońskich. Jednak najbardziej kojarzone są z greckim matematykiem Pitagorasem, który sformułował słynne twierdzenie nazwane jego imieniem. Twierdzenie Pitagorasa głosi, że w każdym trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów pozostałych dwóch boków. Przez wieki twierdzenie to stanowiło podstawę do badania trygonometrii i geometrii, znacząco wpływając na rozwój matematyki.

Korzystanie z kalkulatora

Ten kalkulator pomaga określić nieznane boki trójkąta prostokątnego przy użyciu różnych kombinacji znanych informacji. Możesz obliczyć jedną z przyprostokątnych, jeśli posiadasz:

• Jedną przyprostokątną i przeciwprostokątną.
• Jedną przyprostokątną i kąt.
• Pole oraz jedną przyprostokątną.
• Przeciwprostokątną i kąt.

Wzory

Znajdź jedną przyprostokątną przez drugą i przeciwprostokątną

Jeśli znane są przyprostokątna $a$ i przeciwprostokątna $c$, druga przyprostokątna $b$ może zostać znaleziona za pomocą wzoru:

$b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Znajdź jedną przyprostokątną przez kąt i przeciwprostokątną

Znając kąt $\alpha$, który jest naprzeciwko boku $a$, można znaleźć przyprostokątną $a$ przez przeciwprostokątną $c$:

$a = c \cdot \sin\alpha$

Znajdź przyprostokątną przez kąt i drugą przyprostokątną

Jeśli znany jest kąt $\alpha$, przyprostokątna $a$ może zostać znaleziona przez przyprostokątną $b$:

$a = b \cdot \tan\alpha$

Znajdź jedną przyprostokątną przez pole i drugą przyprostokątną

Jeśli znana jest przyprostokątna $a$ i pole $S$ trójkąta, druga przyprostokątna $b$ może być znaleziona za pomocą:

$b = \frac{2S}{a}$

Przykłady

Przykład 1: Znajdź jedną przyprostokątną przez drugą i przeciwprostokątną

Załóżmy, że znana przyprostokątna to $a = 3$, a przeciwprostokątna to $c = 5$. Użyj wzoru, aby znaleźć drugą przyprostokątną:

$b = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$

Przykład 2: Znajdź jedną przyprostokątną przez kąt i przeciwprostokątną

Jeśli kąt $\alpha = 30^\circ$ i przeciwprostokątna $c = 10$, znajdź przyprostokątną $a$:

$a = 10 \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$

Przykład 3: Znajdź jedną przyprostokątną przez kąt i drugą przyprostokątną

Załóżmy, że znany kąt to $\alpha = 45^\circ$, a przyprostokątna to $b = 7$:

$a = 7 \cdot \tan(45^\circ) = 7 \cdot 1 = 7$

Przykład 4: Znajdź jedną przyprostokątną przez pole i drugą przyprostokątną

Jeśli pole $S = 6$ i przyprostokątna $a = 3$, użyj wzoru, aby znaleźć drugą przyprostokątną:

$b = \frac{2 \times 6}{3} = 4$

Uwagi

• Pamiętaj, że dokładne obliczenia wymagają użycia kąta w radianach lub weryfikacji konwersji stopni na radiany.
• Wszystkie funkcje trygonometryczne zakładają, że kąty są mierzone w układzie kartezjańskim; dodatkowa konwersja jest konieczna przy pracy z kątami w stopniach.
• Ten kalkulator nie tylko przydaje się do rozwiązywania problemów związanych z programem nauczania w szkole, ale także służy jako narzędzie do obliczeń inżynieryjnych i naukowych, gdzie precyzja jest kluczowa.

Najczęściej zadawane pytania

Jak znaleźć jedną przyprostokątną, gdy znane są przyprostokątna i przeciwprostokątna?

Aby znaleźć drugą przyprostokątną, mając jedną przyprostokątną $a$ i przeciwprostokątną $c$, użyj wzoru:

$b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Jak kąty i boki są powiązane w trójkącie prostokątnym?

W trójkącie prostokątnym kąty są powiązane z bokami poprzez funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus i tangens. Na przykład sinus kąta to stosunek przeciwległej przyprostokątnej do przeciwprostokątnej.

Jak znaleźć przeciwprostokątną z dwóch boków?

Przeciwprostokątna $c$ w trójkącie prostokątnym może zostać znaleziona za pomocą wzoru:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Do szybszych obliczeń przeciwprostokątnej, pomocny jest kalkulator przeciwprostokątnej, chociaż ten kalkulator jest głównie zaprojektowany do znajdywania przyprostokątnych.

Jak obliczyć pole trójkąta, jeśli oba boki są znane?

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć jako połowę iloczynu jego przyprostokątnych:

$S = \frac{1}{2}ab$

Do szybkich obliczeń można także użyć kalkulatora trójkąta prostokątnego.