Zapisane kalkulatory
Zapisane kalkulatory
Matematyka

Kalkulator objętości kapelusza sferycznego

Zgłoś błąd

Udostępnij kalkulator

Dodaj nasz darmowy kalkulator do swojej strony internetowej

Proszę wprowadzić ważny URL. Obsługiwane są tylko adresy HTTPS.
Użyj jako wartości domyślnych dla osadzonego kalkulatora to, co znajduje się obecnie w polach wprowadzania kalkulatora na stronie.
Kolor z fokusem obręczy wprowadzania, kolor zaznaczonej przełączki, kolor elementu wyboru podczas najechania itp.
Proszę zaakceptować Warunki Użytkowania.
Prévisualisation

Zapisz kalkulator

Co to jest kapelusz sferyczny?

Kapelusz sferyczny to trójwymiarowy kształt geometryczny, który powstaje, gdy kula jest przecięta płaszczyzną. Kapelusz to mniejsza część kuli, która pozostaje. Ten kształt jest często wizualizowany jako „czapka” na kuli, podobnie jak soczewka kontaktowa pasuje do oka.

Kluczowe komponenty

  • Promień kuli (r): Odległość od środka kuli do jej powierzchni.
  • Wysokość kapelusza (h): Odległość od podstawy kapelusza do najwyższego punktu na kapeluszu.
  • Promień podstawy kapelusza (a): Promień koła, które tworzy podstawę kapelusza.

Wzór na objętość kapelusza sferycznego

Objętość VV kapelusza sferycznego można obliczyć za pomocą następującego wzoru:

V=(π×h23)×(3r−h)V = \left( \frac{\pi \times h^2}{3} \right) \times (3r - h)

Alternatywnie, objętość można również obliczyć jako:

V=16×π×h×(3a2+h2)V = \frac{1}{6} \times \pi \times h \times (3a^2 + h^2)

Te wzory wynikają z całkowania elementu objętości kuli przez wymagane granice. W tych równaniach:

  • rr to promień kuli,
  • hh to wysokość kapelusza,
  • aa to promień podstawy kapelusza.

Wyprowadzenie wzoru

Wyprowadzenie wzoru na objętość kapelusza sferycznego wiąże się z całkowaniem, co pozwala nam obliczyć sumę nieskończenie małych kawałków okręgów tworzących kapelusz. Poprzez całkowanie tych kawałków wzdłuż wysokości kapelusza obliczamy objętość.

Zastosowania praktyczne

  1. Inżynieria: Kapelusze sferyczne mogą modelować kopuły, zbiorniki i inne elementy konstrukcyjne.
  2. Astronomia: Używane w analizie ciał niebieskich i ich interakcji.
  3. Produkcja: Wykorzystywane w produkcji soczewek i innych powierzchni krzywych.

Przykłady

Zobrazujmy, jak używać tych wzorów na przykładzie.

Przykład 1: Obliczanie objętości z promieniem kuli i wysokością kapelusza

Załóżmy, że mamy kulę o promieniu r=10r = 10 cm, a my mierzymy kapelusz o wysokości h=3h = 3 cm.

Korzystając z wzoru:

V=(π×323)×(3×10−3)V = \left( \frac{\pi \times 3^2}{3} \right) \times (3 \times 10 - 3) V=(π×93)×27V = \left( \frac{\pi \times 9}{3} \right) \times 27 V=3π×27=81π≈254,47 cm3V = 3\pi \times 27 = 81\pi \approx 254,47 \text{ cm}^3

Przykład 2: Obliczanie objętości przy użyciu promienia podstawy kapelusza

Dla kapelusza, gdzie promień podstawy a=8a = 8 cm, a wysokość kapelusza h=5h = 5 cm:

V=16×π×5×(3×82+52)V = \frac{1}{6} \times \pi \times 5 \times (3 \times 8^2 + 5^2) V=16×π×5×(3×64+25)V = \frac{1}{6} \times \pi \times 5 \times (3 \times 64 + 25) V=16×π×5×217≈568,1 cm3V = \frac{1}{6} \times \pi \times 5 \times 217 \approx 568,1 \text{ cm}^3

Uwagi

  • Upewnij się, że wszystkie pomiary są w zgodnych jednostkach przed obliczaniem.
  • Używaj dokładnych wartości π\pi (jak 3,14159) dla bardziej dokładnych wyników.

Najczęściej zadawane pytania

Jak obliczyć objętość kapelusza sferycznego?

Użyj dostarczonych wzorów, depending on whether you have the height of the cap and the sphere’s radius or the radius of the base of the cap.

Jaka jest różnica między kulą a kapeluszem sferycznym?

Kula to pełna trójwymiarowa figura, podczas gdy kapelusz sferyczny to część kuli zdefiniowana poprzez jej cięcie płaszczyzną.

Co się stanie, jeśli płaszczyzna przejdzie przez środek kuli?

Rezultatem takiej sytuacji nie jest już kapelusz, lecz półkula, jeśli jest podzielona na dwie równe części. Objętość półkuli można obliczyć za pomocą wzoru: V=23πr3V = \frac{2}{3} \pi r^3 lub użyj naszego kalkulatora objętości półkuli.

Czy wzór na objętość można używać do półkul?

Nie, wzór na objętość kapelusza sferycznego jest specyficzny dla kapeluszy. Półkule mają swój specyficzny wzór na objętość.

Ile stopni kuli odpowiada kapeluszowi sferycznemu?

Kąt kapelusza sferycznego zależy od jego wysokości i jest obliczany oddzielnie za pomocą kąta środkowego w współrzędnych sferycznych.

Podobne kalkulatory

Polityka prywatności Warunki użytkowania