Kalkulator objętości czworościanu

Co to jest czworościan?

Czworościan to trójwymiarowy wielościan z czterema trójkątnymi ścianami, sześcioma krawędziami i czterema wierzchołkami. Jest to najprostszy z wszystkich zwykłych wielościanów wypukłych. Czworościan regularny ma wszystkie krawędzie o równej długości, a wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi. Dla porównania, czworościan nieregularny ma krawędzie różnej długości, a ściany mogą być trójkątami różnobocznymi lub równoramiennymi. Czworościan jest jednym z pięciu brył platońskich, studiowanych od starożytności, z odniesieniami sięgającymi starożytnych greckich matematyków takich jak Euklides.

Wzór na obliczanie objętości czworościanu

Objętość używając powierzchni podstawy i wysokości

Dla dowolnego czworościanu, jeśli znana jest powierzchnia podstawy $S$ i wysokość $h$ (odległość prostopadła od podstawy do przeciwnych wierzchołka), objętość wynosi:

Ten wzór jest analogiczny do objętości ostrosłupa i ma zastosowanie do wszystkich czworościanów, czy to regularnych, czy nieregularnych.

Wzór na objętość czworościanu regularnego

Dla czworościanu regularnego z długością krawędzi $a$, objętość $V$ oblicza się jako:

lub można to zapisać w formie:

Ten wzór wynika ze związku między długością krawędzi i wysokością czworościanu, wykorzystując symetrię geometryczną.

Wzór na objętość czworościanu nieregularnego

Dla czworościanu nieregularnego, zdefiniowanego przez wierzchołki $A, B, C, D$, objętość można obliczyć za pomocą iloczynu skalarnego trzech wektorów wychodzących z jednego wierzchołka. Jeśli znane są wektory $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ i $\vec{AD}$, objętość wynosi:

Ta metoda działa dla każdego czworościanu, niezależnie od symetrii.

Przykłady obliczeń objętości

Przykład 1: Czworościan regularny

Problem: Oblicz objętość czworościanu regularnego o długości krawędzi 5 cm.
Rozwiązanie:
Podstaw $a = 5$ do wzoru:

Przykład 2: Czworościan nieregularny

Problem: Znajdź objętość czworościanu z wierzchołkami w $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$, $C(0, 3, 0)$ i $D(0, 0, 4)$. Rozwiązanie:

1. Zdefiniuj wektory od wierzchołka $A$: $$\vec{AB} = (2, 0, 0), \quad \vec{AC} = (0, 3, 0), \quad \vec{AD} = (0, 0, 4)$$
2. Oblicz iloczyn wektorowy $\vec{AC} \times \vec{AD}$: $$\vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = (12, 0, 0)$$
3. Oblicz iloczyn skalarny $\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})$: $$(2, 0, 0) \cdot (12, 0, 0) = 2 \times 12 + 0 + 0 = 24$$
4. Oblicz objętość: $$V = \frac{1}{6} \times |24| = 4 \, \text{jednostek}^3$$

Przykład 3: Objętość używając powierzchni podstawy i wysokości

Problem: Czworościan ma trójkątną podstawę o powierzchni 24 cm². Wysokość od podstawy do wierzchołka wynosi 9 cm. Jaka jest jego objętość?
Rozwiązanie: Używając wzoru $V = \frac{1}{3} S h$:

Notatki

1. Dla czworościanów nieregularnych upewnij się, że wektory są zdefiniowane od tego samego wierzchołka.
2. Jednostki muszą być spójne (np. wszystkie krawędzie w centymetrach).
3. Wzór na objętość czworościanu regularnego jest szczególnym przypadkiem ogólnej metody iloczynu skalarnego trzech wektorów.
4. Wzór $V = \frac{1}{3} S h$ jest szczególnie przydatny, gdy znana jest forma podstawy, ale czworościan nie jest regularny.
5. Kalkulatory online automatyzują te obliczenia, zmniejszając błędy ręczne.

Najczęściej zadawane pytania

Jak długość krawędzi wpływa na objętość czworościanu regularnego?

Objętość czworościanu regularnego jest proporcjonalna do sześcianu długości jego krawędzi. Na przykład podwojenie długości krawędzi zwiększa objętość $2^3 = 8$ razy.

Czy objętość czworościanu nieregularnego może wynosić zero?

Tak. Jeśli wszystkie cztery wierzchołki leżą w tej samej płaszczyźnie, iloczyn skalarny trzech wektorów staje się zerowy, a objętość wynosi zero.

Jaka jest różnica między czworościanami regularnymi a nieregularnymi?

Czworościan regularny ma wszystkie równe krawędzie i równoboczne trójkątne ściany, podczas gdy czworościan nieregularny ma krawędzie o różnej długości i ściany niebędące równobocznymi trójkątami.

Jak używać iloczynu skalarnego trzech wektorów do obliczania objętości?

1. Wybierz wierzchołek jako punkt referencyjny.
2. Oblicz wektory od tego wierzchołka do pozostałych trzech wierzchołków.
3. Oblicz iloczyn skalarny trzech wektorów.
4. Podziel wynik absolutny przez 6, aby uzyskać objętość.

Dlaczego w mianowniku jest $6\sqrt{2}$ w formule dla czworościanu regularnego?

Wyrażenie $\sqrt{2}$ wynika z relacji pitagorejskiej w geometrii czworościanu, a mianownik 6 skaluje wynik do jednostkowej objętości.