Zapisane kalkulatory
Zapisane kalkulatory
Matematyka

Kalkulator objętości torusa

Zgłoś błąd

Udostępnij kalkulator

Dodaj nasz darmowy kalkulator do swojej strony internetowej

Proszę wprowadzić ważny URL. Obsługiwane są tylko adresy HTTPS.
Użyj jako wartości domyślnych dla osadzonego kalkulatora to, co znajduje się obecnie w polach wprowadzania kalkulatora na stronie.
Kolor z fokusem obręczy wprowadzania, kolor zaznaczonej przełączki, kolor elementu wyboru podczas najechania itp.
Proszę zaakceptować Warunki Użytkowania.
Prévisualisation

Zapisz kalkulator

Czym jest torus?

Torus to trójwymiarowy kształt geometryczny przypominający pączka lub oponę. Powstaje poprzez obrót okręgu w przestrzeni trójwymiarowej wokół osi, która leży w tej samej płaszczyźnie co okrąg, ale jej nie przecina. Ten obrót tworzy powierzchnię obrotową z otworem w środku. Kluczowe terminy związane z torusem to:

  • Promień większy (R): Odległość od środka rurki do środka torusa.
  • Promień mniejszy (r): Promień okrągłego przekroju poprzecznego rurki.

Torusy są badane w geometrii, topologii i fizyce, pojawiają się również w naturze i inżynierii, na przykład w magnetycznych reaktorach termojądrowych (tokamakach) i oponach rowerowych.

Wzór na obliczanie objętości

Objętość VV torusa oblicza się za pomocą wzoru wyprowadzonego z całkowania w rachunku różniczkowym:

V=2π2Rr2V = 2\pi^2 R r^2

Gdzie:

  • RR: Promień większy (odległość od środka rurki do środka torusa).
  • rr: Promień mniejszy (promień samej rurki).

Ten wzór zakłada idealnie okrągły przekrój poprzeczny i jednolity obrót wokół osi.

Przykłady

Przykład 1: Klasyczny pączek

Załóżmy, że pączek ma promień większy R=4 cmR = 4 \, \text{cm} i promień mniejszy r=2 cmr = 2 \, \text{cm}. Jego objętość oblicza się jako:

V=2π2×4×22=32π2 cm3≈315,91 cm3V = 2\pi^2 \times 4 \times 2^2 = 32\pi^2 \, \text{cm}^3 \approx 315,91 \, \text{cm}^3

Przykład 2: Przemysłowa uszczelka gumowa

Pierścień uszczelniający O-ring o promieniu R=10 mmR = 10 \, \text{mm} i r=1,5 mmr = 1,5 \, \text{mm}:

V=2π2×10×(1,5)2=45π2 mm3≈444,13 mm3V = 2\pi^2 \times 10 \times (1,5)^2 = 45\pi^2 \, \text{mm}^3 \approx 444,13 \, \text{mm}^3

Przykład 3: Struktura pierścienia astronomicznego

Hipotetyczny kosmiczny torus o promieniu R=1 000 kmR = 1\,000 \, \text{km} i r=20 kmr = 20 \, \text{km}:

V=2π2×1 000×202=800 000π2 km3≈7 895 568 km3V = 2\pi^2 \times 1\,000 \times 20^2 = 800\,000\pi^2 \, \text{km}^3 \approx 7\,895\,568 \, \text{km}^3

Kontekst historyczny

Badanie torusów sięga starożytnej greckiej geometrii, ale termin “torus” został spopularyzowany w XIX wieku. Carl Friedrich Gauss badał jego właściwości w geometrii różniczkowej, łącząc go z krzywizną i topologią. Torus odgrywa również rolę w geometrii algebraicznej, gdzie jest używany do modelowania skomplikowanych kształtów.

Zastosowania objętości toru

  1. Inżynieria: Projektowanie pierścieni O-ring, opon i magnesów nadprzewodzących w urządzeniach MRI.
  2. Architektura: Tworzenie struktur toroidalnych, takich jak okrągłe areny.
  3. Fizyka: Modelowanie magnetycznego zamknięcia w reaktorach termojądrowych (np. tokamaki).
  4. Biologia: Badanie błon komórkowych i kapsydów wirusowych.

Uwagi

  1. Dokładność: Wzór zakłada idealnie okrągły przekrój. Rzeczywiste torusy mogą mieć deformacje.
  2. Jednostki: Upewnij się, że RR i rr są w tych samych jednostkach przed obliczeniem.
  3. Częsty błąd: Mylące RR (promień większy) z rr (promień mniejszy).

Często zadawane pytania

Jak obliczyć objętość torusa z R=5 mR = 5 \, \text{m} i r=1 mr = 1 \, \text{m}?

V=2π2×5×12=10π2 m3≈98,7 m3V = 2\pi^2 \times 5 \times 1^2 = 10\pi^2 \, \text{m}^3 \approx 98,7 \, \text{m}^3

Czy oponę można modelować jako torus?

Tak. Na przykład opona rowerowa z R=30 cmR = 30 \, \text{cm} i r=2 cmr = 2 \, \text{cm}:

V=2π2×30×22=240π2 cm3≈2 368,7 cm3V = 2\pi^2 \times 30 \times 2^2 = 240\pi^2 \, \text{cm}^3 \approx 2\,368,7 \, \text{cm}^3

Co się stanie z objętością, jeśli promień większy zostanie podwojony?

Objętość wzrośnie czterokrotnie, ponieważ V∝RV \propto R. Podwojenie RR zwiększa VV o współczynnik 2, ale podwojenie rr zwiększa VV o współczynnik 4 (ponieważ rr jest podnoszony do kwadratu).

Dlaczego jednolite jednostki są ważne?

Mieszanie jednostek (np. RR w metrach i rr w centymetrach) prowadzi do nieprawidłowych wyników. Konwersja wszystkich pomiarów do tej samej jednostki na początku jest ważna.

Czy starożytni matematycy badali torusy?

Tak! Archimedes badał objętości rewolucji, a torus pojawia się we wczesnych pracach na temat geometrii, chociaż jego formalna analiza pojawiła się później.

Podobne kalkulatory

Polityka prywatności Warunki użytkowania