Kalkulator trójkąta 30 60 90

Co to jest trójkąt 30 60 90?

Trójkąt 30 60 90 to szczególny rodzaj trójkąta prostokątnego, który posiada unikalne właściwości, co czyni go znaczącym geometrią w matematyce oraz praktycznych zastosowaniach. Jego kąty wynoszą 30°, 60° i 90°, a specyficzny stosunek kątów zapewnia określone proporcje boków. Dzięki tym proporcjom trójkąt 30 60 90 jest często wykorzystywany w inżynierii, architekturze i różnych obliczeniach.

Cechy i właściwości trójkąta 30 60 90

1. Proporcje boków:

   • Bok naprzeciw kąta 30° stanowi połowę przeciwprostokątnej.
   • Bok naprzeciw kąta 60° to $\sqrt{3}$ razy połowa przeciwprostokątnej.

2. Jednostkowe stosunki:

   • Jeśli długość przeciwprostokątnej wynosi $c$, to długość boku naprzeciw kąta 30° wyniesie $\frac{c}{2}$.
   • Długość boku naprzeciw kąta 60° wynosi $\frac{c \sqrt{3}}{2}$.

Dzięki tym prostym proporcjom, problemy związane z wyznaczeniem boków trójkąta 30 60 90 są rozwiązywane łatwo i precyzyjnie.

Wzory

Przyjrzyjmy się teraz, jak te właściwości można wykorzystać do obliczania różnych parametrów trójkąta.

1. Jeśli bok $a$ (naprzeciw kąta 30°) jest znany:

• Przeciwprostokątna $c$:

  $$c = 2a$$

• Pole $S$:

  $$S = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2$$

• Obwód $P$:

  $$P = (3 + \sqrt{3})a$$

2. Jeśli przeciwprostokątna $c$ jest znana:

• Bok $a$:

  $$a = \frac{c}{2}$$

• Inny bok $b$ (naprzeciw kąta 60°):

  $$b = a \cdot \sqrt{3} = \frac{c\sqrt{3}}{2}$$

• Pole $S$:

  $$S = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2$$

• Obwód $P$:

  $$P = \left(3 + \sqrt{3}\right) \frac{c}{2}$$

3. Jeśli obwód $P$ jest znany:

• Bok $a$:

  $$a = \frac{P}{3 + \sqrt{3}}$$

• Przeciwprostokątna $c$:

  $$c = \frac{2P}{3 + \sqrt{3}}$$

• Pole $S$:

  $$S = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{P}{3 + \sqrt{3}}\right)^2$$

4. Jeśli pole $S$ jest znane:

• Bok $a$:

  $$a = \sqrt{\frac{2S}{\sqrt{3}}}$$

• Przeciwprostokątna $c$:

  $$c = 2a = 2\sqrt{\frac{2S}{\sqrt{3}}}$$

• Obwód $P$:

  $$P = (3 + \sqrt{3}) \sqrt{\frac{2S}{\sqrt{3}}}$$

Przykłady

Przykład 1: Znany bok $a = 4$

1. Przeciwprostokątna $c$:

   $$c = 2a = 2 \cdot 4 = 8$$

2. Pole $S$:

   $$S = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 8\sqrt{3} \approx 13,86$$

3. Obwód $P$:

   $$P = (3 + \sqrt{3})a = (3 + \sqrt{3}) \cdot 4 = (3 + 1,732) \cdot 4 \approx 4 \cdot 4,732 \approx 18,93$$

Przykład 2: Znana przeciwprostokątna $c = 10$

1. Bok $a$:

   $$a = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

2. Inny bok $b$:

   $$b = a \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot \sqrt{3} \approx 5 \cdot 1,732 \approx 8,66$$

3. Pole $S$:

   $$S = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2 = \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot 100 = 12,5\sqrt{3} \approx 21,65$$

4. Obwód $P$:

   $$P = \left(3 + \sqrt{3}\right) \frac{c}{2} = \left(3 + 1,732\right) \cdot 5 \approx 4,732 \cdot 5 \approx 23,66$$

Przykład 3: Znany obwód $P = 30$

1. Bok $a$:

   $$a = \frac{P}{3 + \sqrt{3}} = \frac{30}{3 + 1,732} \approx \frac{30}{4,732} \approx 6,34$$

2. Przeciwprostokątna $c$:

   $$c = \frac{2P}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 30}{3 + 1,732} \approx \frac{60}{4,732} \approx 12,68$$

3. Pole $S$:

   $$S = \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\frac{30}{3 + \sqrt{3}}\right)^2 \approx \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 40,12 \approx 34,81$$

Przykład 4: Znane pole $S = 10$

1. Bok $a$:

   $$a = \sqrt{\frac{2S}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 10}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{20}{\sqrt{3}}} \approx \sqrt{11,55} \approx 3,39$$

2. Przeciwprostokątna $c$:

   $$c = 2a \approx 2 \cdot 3,39 \approx 6,78$$

3. Obwód $P$:

   $$P = (3 + \sqrt{3}) a = (3 + 1,732) \cdot 3,39 \approx 4,732 \cdot 3,39 \approx 16,08$$

Najczęściej zadawane pytania

Jak znaleźć bok, jeśli znana jest przeciwprostokątna?

Jeśli przeciwprostokątna $c$ jest znana, bok naprzeciw kąta 30° $a$ wynosi $\frac{c}{2}$, a bok naprzeciw kąta 60° $b$ wynosi $\frac{c \sqrt{3}}{2}$.

Czy ten trójkąt może być używany w architekturze i innych dziedzinach?

Tak, jest często wykorzystywany w architekturze i projektowaniu ze względu na stabilność i prostotę obliczeń. Trójkąt 30 60 90 jest również używany w różnych układach, budownictwie, a nawet w tworzeniu figur trójwymiarowych.

Jakie są zalety używania tego typu trójkąta?

Pozwala na łatwe obliczenia w projektowaniu struktur, zapewniając dokładność wyników.

Jak obliczyć podobne wartości, ale dla trójkąta 45 45 90?

Do podobnych obliczeń z innym rodzajem trójkąta prostokątnego - 45 45 90, możesz użyć tego kalkulatora.