Kalkulator trójkąta 45 45 90

Czym jest trójkąt 45 45 90?

Trójkąt 45 45 90, znany również jako trójkąt równoramienny prostokątny, posiada unikalne właściwości, które czynią go szczególnie interesującym w geometrii. Jest to rodzaj specjalnego trójkąta, gdzie kąty mierzą 45°, 45° oraz 90°. Taki trójkąt jest symetryczny, dlatego jego dwa przyprostokątne są równej długości.

Charakterystyka

Ta figura geometryczna jest interesująca dzięki swojej prostej, ale eleganckiej strukturze. Kluczowe cechy obejmują:

• Równość boków: W trójkącie 45 45 90 przyprostokątne są równe, co upraszcza proces badania i obliczania jego wymiarów.

• Stosunki boków: Długość przeciwprostokątnej jest równa długości przyprostokątnej pomnożonej przez pierwiastek kwadratowy z dwóch ($c = a\sqrt{2}$, gdzie $a$ to długość przyprostokątnej, a $c$ to długość przeciwprostokątnej).

• Kąt prosty: Przeciwprostokątna zawsze jest naprzeciwko kąta 90°, co jest ważne dla obliczeń z użyciem trygonometrii.

Właściwości trójkąta 45 45 90

• Symetria: Z powodu równości kątów i boków, ten trójkąt jest symetryczny, co upraszcza jego analizę. Trójkąt jest symetryczny względem dwusiecznej kąta 90°, co pozwala na użycie właściwości odbicia lustrzanego.

• Funkcje trygonometryczne: Sinus i cosinus kątów 45° to oba $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (lub około 0,7071).

• Powierzchnia i obwód: Powierzchnia i obwód są również łatwo obliczalne dzięki prostym stosunkom i formułom.

Wzory

Wzory, gdy znana jest długość boku

Jeśli znana jest długość boku $a$, możemy znaleźć przeciwprostokątną, pole i obwód używając:

1. Przeciwprostokątna: $c = a\sqrt{2}$
2. Pole: $S = \frac{a^2}{2}$
3. Obwód: $P = 2a + a\sqrt{2}$

Wzory, gdy znana jest przeciwprostokątna

Jeśli znana jest przeciwprostokątna $c$, możemy znaleźć długość boku, pole i obwód używając:

1. Długość boku: $a = \frac{c}{\sqrt{2}}$
2. Pole: $S = \frac{c^2}{4}$
3. Obwód: $P = 2 \left(\frac{c}{\sqrt{2}}\right) + c = c\left(1 + \frac{2}{\sqrt{2}}\right) = c(1 + \sqrt{2})$

Wzory, gdy znane jest pole

Jeśli znane jest pole $A$, można znaleźć długość boku, przeciwprostokątną i obwód używając:

1. Długość boku: $a = \sqrt{2 \times A}$
2. Przeciwprostokątna: $c = \sqrt{4 \times A}$
3. Obwód: $P = 2a + c = 2\sqrt{2} \times A + \sqrt{4 \times A}$

Wzory, gdy znany jest obwód

Jeśli znany jest obwód $P$, można znaleźć długość boku, przeciwprostokątną i pole używając:

1. Długość boku: $a = \frac{P}{2 + \sqrt{2}}$
2. Przeciwprostokątna: $c = \sqrt{2} \times a$
3. Pole: $S = \frac{a^2}{2}$

Przykłady obliczeń

Przykład 1: Znana długość boku

Załóżmy, że długość boku trójkąta wynosi 5 cm. Znajdź długość przeciwprostokątnej, pole i obwód:

1. Przeciwprostokątna: $c = 5\sqrt{2} \approx 7,07$ cm
2. Pole: $S = \frac{5^2}{2} = 12,5$ cm²
3. Obwód: $P = 2 \times 5 + 5\sqrt{2} \approx 17,07$ cm

Przykład 2: Znana przeciwprostokątna

Jeśli przeciwprostokątna trójkąta wynosi 10 cm, znajdź długość boku, pole i obwód:

1. Długość boku: $a = \frac{10}{\sqrt{2}} \approx 7,07$ cm
2. Pole: $S = \frac{10^2}{4} = 25$ cm²
3. Obwód: $P = 10 + 2 \times 7,07 \approx 24,14$ cm

Przykład 3: Znane pole

Załóżmy, że pole trójkąta 45 45 90 wynosi 18 cm². Znajdź długość boku, przeciwprostokątną i obwód:

1. Długość boku: $a = \sqrt{2 \times 18} = \sqrt{36} = 6$ cm
2. Przeciwprostokątna: $c = 6\sqrt{2} \approx 8,49$ cm
3. Obwód: $P = 2 \times 6 + 6\sqrt{2} \approx 20,49$ cm

Przykład 4: Znany obwód

Załóżmy, że obwód trójkąta 45 45 90 wynosi 24 cm. Znajdź długość boku, przeciwprostokątną i pole:

1. Długość boku: $a = \frac{24}{2 + \sqrt{2}} \approx 7,03$ cm
2. Przeciwprostokątna: $c = 7,03 \cdot \sqrt{2} \approx 9,94$ cm
3. Pole: $S = \frac{7,03^2}{2} \approx 24,71$ cm²

Uwagi

• Trójkąt 45 45 90 jest podstawowym elementem w geometrii i trygonometrii, często używanym do rozwiązywania problemów i konstruowania modeli.
• Ze względu na swoje proste relacje i proporcje, ten trójkąt jest często widywany w architekturze i designie, a także w formach i strukturach naturalnych.

Najczęściej zadawane pytania

Jak znaleźć długość boku, jeśli znana jest przeciwprostokątna?

Jeśli znana jest przeciwprostokątna $c$, długość boku $a$ można znaleźć używając wzoru: $a = \frac{c}{\sqrt{2}}$.

Dlaczego przeciwprostokątna jest równa $a\sqrt{2}$?

Przeciwprostokątna jest równa $a\sqrt{2}$ z powodu zastosowania twierdzenia Pitagorasa i równości boków. Twierdzenie głosi: $c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, stąd $c = a\sqrt{2}$.

Jak znaleźć pole trójkąta, jeśli znana jest długość boku?

Jeśli znana jest długość boku $a$, pole można znaleźć używając wzoru: $S = \frac{a^2}{2}$.

Czy istnieje jakiś trójkąt o kątach różnych od 45 45 90, który ma takie same właściwości?

Nie, tylko trójkąt 45 45 90 ma takie unikalne właściwości jak równość boków i proste relacje między przeciwprostokątną a bokami.

Czy trójkąt 45 45 90 może być używany w praktycznych zastosowaniach?

Tak, ze względu na symetrię i łatwość obliczeń trójkąt 45 45 90 jest często wykorzystywany w budownictwie, projektach projektowych i różnych zadaniach inżynieryjnych.