Matematyka

Kalkulator kątów trójkąta

Zgłoś błąd

Udostępnij kalkulator

Dodaj nasz darmowy kalkulator do swojej strony internetowej

Proszę wprowadzić ważny URL. Obsługiwane są tylko adresy HTTPS.
Użyj jako wartości domyślnych dla osadzonego kalkulatora to, co znajduje się obecnie w polach wprowadzania kalkulatora na stronie.
Kolor z fokusem obręczy wprowadzania, kolor zaznaczonej przełączki, kolor elementu wyboru podczas najechania itp.
Proszę zaakceptować Warunki Użytkowania.
Prévisualisation

Czym są kąty trójkąta?

Kąty trójkąta to kąty tworzone przez dwie strony trójkąta. Każdy trójkąt ma trzy kąty, a suma tych kątów zawsze wynosi 180 stopni. Kąty można oznaczyć jako α\alpha (alfa), β\beta (beta), i γ\gamma (gamma).

Kalkulator kątów trójkąta to narzędzie online, które pozwala obliczyć kąty trójkąta na podstawie znanych informacji o innych kątach i bokach. Trójkąty są fundamentalnym kształtem geometrycznym, a zrozumienie ich kątów i boków jest ważne zarówno w teoretyce matematyki, jak i praktycznych zastosowaniach jak architektura i projektowanie inżynieryjne.

Właściwości kątów trójkąta

  1. Suma kątów: Jak wcześniej wspomniano, suma wszystkich trzech kątów dowolnego trójkąta zawsze wynosi 180 stopni.
  2. W zależności od kątów, trójkąt może być:
    • Ostrokątny, jeśli wszystkie kąty są mniejsze niż 90 stopni.
    • Prostokątny, jeśli jeden z kątów wynosi 90 stopni.
    • Rozwartokątny, jeśli jeden z kątów jest większy niż 90 stopni.

Formuły

Obliczanie kątów trójkąta zależy od znanych danych. Jeśli znane są dwa kąty, stosuje się ogólną zasadę sumy wszystkich trójkątów; gdy znane są długości wszystkich boków, należy użyć twierdzenia cosinusów, a jeśli znane są dwa boki i kąt między nimi - twierdzenia sinusów. Zajmijmy się każdą z opcji obliczeniowych:

Suma wszystkich kątów

Trójkąt ma ważną właściwość: suma jego kątów wewnętrznych zawsze wynosi 180 stopni. Ta fundamentalna właściwość wynika z geometrii Euklidesa i stanowi podstawę wielu innych obliczeń geometrycznych.

Gdy dwa kąty są początkowo znane, trzeci kąt można zawsze obliczyć z równania:

γ=180∘−α−β\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta

Ta zasada upraszcza rozwiązywanie wielu zadań związanych z trójkątami i stanowi podstawową właściwość, którą można wykorzystać do szybkiego znajdowania nieznanych kątów.

Twierdzenie cosinusów

Twierdzenie cosinusów pozwala obliczyć kąty, jeśli znane są długości wszystkich trzech boków trójkąta. Mówi ono, że kwadrat długości dowolnego boku trójkąta równa się sumie kwadratów długości pozostałych dwóch boków minus dwukrotność iloczynu długości tych boków pomnożonego przez cosinus kąta między nimi. Formuły do obliczania kątów przy użyciu twierdzenia cosinusów:

cos⁡(α)=b2+c2−a22bc\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} cos⁡(β)=a2+c2−b22ac\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} cos⁡(γ)=a2+b2−c22ab\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Po znalezieniu cosinusa kąta, można użyć funkcji arccos, aby znaleźć sam kąt.

Twierdzenie sinusów

Aby obliczyć kąty z dwoma znanymi bokami i jednym kątem, można użyć prawa sinusów. Mówi ono, że stosunek długości boku do sinusa przeciwległego kąta jest taki sam dla wszystkich trzech boków trójkąta:

asin⁡(α)=bsin⁡(β)=csin⁡(γ)\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}

Przykłady

Przykład 1: Obliczanie kąta przy znanych dwóch kątach

Załóżmy, że mamy trójkąt, gdzie α=50∘\alpha = 50^\circ i β=60∘\beta = 60^\circ. Wtedy kąt γ\gamma:

γ=180∘−50∘−60∘=70∘\gamma = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ

Przykład 2: Obliczanie kąta przy trzech bokach

Rozważmy trójkąt z bokami a=7a = 7, b=10b = 10, c=5c = 5. Oblicz kąt α\alpha:

cos⁡(α)=102+52−722⋅10⋅5=100+25−49100=76100=0.76\cos(\alpha) = \frac{10^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 10 \cdot 5} = \frac{100 + 25 - 49}{100} = \frac{76}{100} = 0.76

Teraz znajdź kąt α:

α=arccos⁡(0.76)≈40,54∘\alpha = \arccos(0.76) \approx 40,54^\circ

Przykład 3: Obliczanie kątów z dwoma bokami i kątem między nimi

Załóżmy, że znane są boki a=6a = 6, b=8b = 8, oraz kąt przeciwległy do boku aa, α=45∘\alpha = 45^\circ. Wtedy, aby znaleźć kąt β\beta:

6sin⁡(45∘)=8sin⁡(β)\frac{6}{\sin(45^\circ)} = \frac{8}{\sin(\beta)}

Rozwiąż dla sin⁡(β)\sin(\beta):

sin⁡(β)=8⋅sin⁡(45∘)6=8⋅226=426=223\sin(\beta) = \frac{8 \cdot \sin(45^\circ)}{6} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}

Znajdź kąt β\beta:

β=arcsin⁡(223)≈70,53∘\beta = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \approx 70,53^\circ

Uwagi

  1. Korzystając z arccos i arcsin, upewnij się, że wyniki mieszczą się w dozwolonym zakresie kątów (0-180 stopni).
  2. W przypadkach, gdy nie można utworzyć trójkąta z podanych parametrów, wyniki mogą nie zgadzać się z rzeczywistymi wartościami kątów.
  3. Upewnij się, że wprowadzone dane są poprawne i dopuszczalne do budowy trójkąta, ponieważ nieprawidłowe dane doprowadzą do błędów w obliczeniach.

Często zadawane pytania

Jak znaleźć trzeci kąt trójkąta, jeśli znane są dwa kąty?

Jeśli znane są dwa kąty α\alpha and β\beta, trzeci kąt γ\gamma można znaleźć za pomocą formuły:

γ=180∘−α−β\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta

Jak oblicza się kąty, gdy znane są trzy boki trójkąta?

Aby znaleźć kąty, gdy znane są trzy boki, używa się twierdzenia cosinusów. Korzystając ze wzoru:

cos⁡(α)=b2+c2−a22bc\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

oraz arccos, aby znaleźć kąt α\alpha.

Co zrobić, jeśli obliczanie kątów jest niemożliwe?

Jeśli obliczanie jest niemożliwe (np. boki naruszają nierówność trójkąta), sprawdź ponownie wprowadzone dane. Możliwe, że takie parametry nie mogą utworzyć trójkąta.

Trójkąt abcabc, jak znaleźć kąt ∠ac\angle ac?

Jeśli boki trójkąta to a,ba, b, i cc, aby znaleźć kąt ∠ac\angle ac, zastosuj następujące obliczenia:

Użyj twierdzenia cosinusów, aby obliczyć kąt γ\gamma:

cos⁡(γ)=a2+b2−c22ab\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Po obliczeniu cos⁡(γ)\cos(\gamma), użyj arccos, aby znaleźć kąt γ\gamma:

γ=arccos⁡(a2+b2−c22ab)\gamma = \arccos\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)

Czy ten kalkulator można używać dla trójkątów prostokątnych?

Tak, kalkulator nadaje się także do trójkątów prostokątnych. Dla znanej przeciwprostokątnej i jednej z przyprostokątnych, można znaleźć jeden z kątów za pomocą funkcji trygonometrycznych.

W trójkącie kąt wynosi 90 stopni, jak znaleźć pozostałe kąty?

Jeśli jeden kąt trójkąta prostokątnego wynosi 90 stopni, poza tym kalkulatorem, można także użyć specjalnego kalkulatora kątów trójkąta prostokątnego.

Podobne kalkulatory

Polityka prywatności Warunki użytkowania