Kalkulator objętości graniastosłupa trójkątnego

Co to jest graniastosłup trójkątny?

Graniastosłup trójkątny to trójwymiarowy obiekt z dwiema identycznymi podstawami trójkątnymi i trzema prostokątnymi ścianami bocznymi. Jest to przykład graniastosłupa, w którym przekrój prostopadły do długości jest trójkątem. Graniastosłupy trójkątne są często spotykane w geometrii i znajdują zastosowanie w różnych dziedzinach, takich jak architektura, sztuka i inżynieria. Kiedy chcesz obliczyć objętość graniastosłupa trójkątnego, zasadniczo obliczasz, ile miejsca zajmuje.

Rodzaje graniastosłupów trójkątnych

1. Regularny graniastosłup trójkątny: Obie podstawy trójkątne są równoboczne.
2. Nieregularny graniastosłup trójkątny: Podstawy mogą być dowolnym trójkątem, w tym różnobocznym lub równoramiennym.
3. Prostokątny graniastosłup trójkątny: Często odnosi się do graniastosłupów z podstawami trójkątnymi prostokątnymi.

Obliczanie objętości

Objętość graniastosłupa trójkątnego można obliczyć za pomocą różnych parametrów, jak określono poniżej. Podstawowa formuła dla objętości graniastosłupa trójkątnego to:

gdzie $V$ to objętość, $S_{\text{base}}$ to pole podstawy trójkątnej, a $L$ to długość graniastosłupa.

1. Korzystanie z długości graniastosłupa i trzech boków trójkąta

Dla trójkąta z bokami $a$, $b$ i $c$, pole $S_{\text{base}}$ można określić, używając wzoru Herona:

W związku z tym objętość wynosi:

2. Korzystanie z długości graniastosłupa, dwóch boków i kąta zawartego

Dla trójkąta z bokami $a$ i $b$, i zawartym kątem $\theta$, pole $A_{\text{base}}$ wynosi:

Zatem objętość wynosi:

3. Korzystanie z długości graniastosłupa, dwóch kątów i boku zawartego

Podano bok $a$, oraz kąty $\alpha$ i $\beta$, trzeci kąt $\gamma$ można znaleźć, używając:

Pole przy użyciu Twierdzenia sinusów jest:

Objętość wynosi:

4. Korzystanie z długości graniastosłupa, podstawy i wysokości

Dla trójkąta o znanej podstawie $b$ i wysokości $h$:

Zatem objętość wynosi:

Przykłady

Przykład 1: Regularny graniastosłup trójkątny

Regularny graniastosłup trójkątny z trójkątną podstawą o bokach 6 cm, 6 cm i 6 cm, i długości 10 cm.

• Oblicz półobwód: $s = \frac{6 + 6 + 6}{2} = 9 \text{ cm}$
• Używając wzoru Herona: $$S_{\text{base}} = \sqrt{9(9-6)(9-6)(9-6)}$$ $$S_{\text{base}} = \sqrt{9 \times 3 \times 3 \times 3} = 9 \sqrt{3} \text{ cm}^2$$
• Objętość: $$V = 9 \sqrt{3} \times 10 = 155,9 \text{ cm}^3$$

Przykład 2: Nieregularny graniastosłup trójkątny

Dla trójkątnej podstawy o bokach 8 cm, 5 cm i 7 cm, i długości graniastosłupa 12 cm.

• $s = \frac{8 + 5 + 7}{2} = 10 \text{ cm}$
• Wzór Herona: $$S_{\text{base}} = \sqrt{10(10-8)(10-5)(10-7)} = \sqrt{10 \times 2 \times 5 \times 3} \approx 17,32 \text{ cm}^2$$
• Objętość: $$V = 17,32 \times 12 = 207,85 \text{ cm}^3$$

Przykład 3: Prostokątny graniastosłup trójkątny

Trójkątna podstawa z bazą 5 cm i wysokością 6 cm, a długość graniastosłupa wynosi 15 cm.

• $S_{\text{base}} = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 = 15 \text{ cm}^2$
• Objętość: $$V = 15 \times 15 = 225 \text{ cm}^3$$

Uwagi

• Upewnij się, że wszystkie pomiary są w tej samej jednostce przed obliczeniem.
• Podczas obliczania funkcji trygonometrycznych upewnij się, że kąt jest w odpowiedniej jednostce (stopnie lub radiany) zgodnie z wymaganiami.
• Używając wzoru Herona, bądź ostrożny w obliczeniach zmiennoprzecinkowych, aby uniknąć błędów precyzji.

Często zadawane pytania

Jak obliczyć objętość graniastosłupa trójkątnego ze znanymi długościami boków?

Aby obliczyć objętość, gdy znane są trzy boki trójkąta, użyj wzoru Herona, aby znaleźć pole podstawy trójkątnej i pomnóż przez długość graniastosłupa.

Ile ścian ma graniastosłup trójkątny?

Graniastosłup trójkątny ma pięć ścian: dwie podstawy trójkątne i trzy ściany boczne prostokątne.

Jaka jest różnica między regularnym a nieregularnym graniastosłupem trójkątnym?

Regularny graniastosłup trójkątny ma podstawy, które są trójkątami równobocznymi, podczas gdy nieregularny graniastosłup trójkątny może mieć podstawy o dowolnym kształcie trójkąta.

Czy długość graniastosłupa może być krótsza niż najdłuższy bok trójkąta?

Tak, długość graniastosłupa (często odpowiadająca wysokości w różnych orientacjach) może być krótsza, dłuższa lub nawet równa dowolnej z podstaw trójkąta.