Kalkulator objętości piramidy trójkątnej

Co to jest piramida trójkątna?

Piramida trójkątna, znana również jako czworościan, jest trójwymiarową figurą geometryczną z trójkątną podstawą i trzema trójkątnymi ścianami zbiegającymi się w jednym wierzchołku, który nie znajduje się na płaszczyźnie podstawy. Piramida trójkątna to rodzaj wielościanu, składający się z czterech trójkątnych ścian, sześciu krawędzi i czterech wierzchołków.

Wzór na objętość piramidy trójkątnej

Objętość $V$ piramidy trójkątnej można znaleźć za pomocą różnych metod w zależności od znanych parametrów piramidy:

1. Objętość na podstawie pola podstawy i wysokości

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{podstawa}} \times H$ Gdzie:

• $S_{\text{podstawa}}$ to pole trójkątnej podstawy
• $H$ to wysokość piramidy od podstawy do wierzchołka

2. Objętość przy znanych trzech bokach podstawy

Gdy znane są trzy boki $a$, $b$ oraz $c$ trójkątnej podstawy, a także $H$, wysokość piramidy, obliczamy pole podstawy korzystając z wzoru Herona:

1. Oblicz półobwód $s$: $s = \frac{a + b + c}{2}$
2. Użyj wzoru Herona do obliczenia pola podstawy $S_{\text{podstawa}}$: $S_{\text{podstawa}} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
3. Podstaw $S_{\text{podstawa}}$ do wzoru na objętość: $V = \frac{1}{3} \times \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \times H$

3. Objętość z dwoma bokami i kątem zawartym

Gdy znane są dwa boki $a$ i $b$ podstawy oraz kąt zawarty $\alpha$: $S_{\text{podstawa}} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\alpha)$ Następnie użyj tego pola we wzorze na objętość.

4. Objętość z jednym bokiem i dwoma kątami przyległymi

Gdy znany jest bok $b$ podstawy i jego dwa kąty przyległe, $\alpha$ i $\beta$, można użyć prawa sinusów do znalezienia pola podstawy: $S_{\text{podstawa}} = \frac{b^2 \times \sin(\alpha) \times \sin(\beta)}{2 \times \sin(\alpha + \beta)}$ Użyj tego $S_{\text{podstawa}}$ we wzorze na objętość.

5. Objętość z znaną wysokością podstawy i bokiem

Jeśli wysokość podstawy $h_{\text{podstawa}}$ i bok $b$ trójkątnej podstawy są znane: $S_{\text{podstawa}} = \frac{1}{2} \times b \times h_{\text{podstawa}}$ Wykorzystaj to w tej samej formule na objętość.

Zrozumienie prawidłowej i nieprawidłowej piramidy trójkątnej

Regularna piramida trójkątna (czworościan)

Regularny czworokąt to piramida trójkątna, w której wszystkie krawędzie są równe, a wszystkie ściany to trójkąty równoboczne. Jeśli długość krawędzi wynosi $a$, objętość obliczana jest za pomocą wzoru: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times a^3$

Uwaga: W niektórych źródłach termin “regularna piramida trójkątna” odnosi się do piramidy z regularnym trójkątem w podstawie i równymi krawędziami bocznymi, ale niekoniecznie z równymi krawędziami podstawy i krawędziami bocznymi. W takim przypadku wzór na objętość będzie zależał od wysokości piramidy i pola podstawy.

Nieregularna (lub nieprawidłowa) piramida trójkątna

Nieregularna piramida trójkątna ma boki o różnych długościach i nie wykazuje jednolitości w kątach czy pomiarach krawędzi. Obliczenie objętości zależy od znanych miar, takich jak różne długości boków i odpowiadające im wysokości.

Gdy znane są współrzędne wierzchołków piramidy trójkątnej

Jeśli znane są współrzędne wierzchołków piramidy trójkątnej, można użyć alternatywnej metody, stosując kalkulator objętości czworościanu. Ustalenie współrzędnych wierzchołków w przestrzeni trójwymiarowej umożliwia obliczenia za pomocą matematyki wektorowej. To narzędzie jest przydatne, gdy piramida nie odpowiada jasno zdefiniowanym pomiarom wysokości i pola podstawy.

Przykłady obliczania objętości

Przykład 1: Znane pole podstawy i wysokość

Obliczmy objętość dla pola podstawy trójkątnej wynoszącego $6 \, \text{cm}^2$ i wysokości piramidy $9 \, \text{cm}$. $V = \frac{1}{3} \times 6 \times 9 = 18 \, \text{cm}^3$

Przykład 2: Objętość z trzema znanymi bokami

Dane długości boków $a = 3 \, \text{cm}$, $b = 4 \, \text{cm}$, $c = 5 \, \text{cm}$, oraz wysokość piramidy $10 \, \text{cm}$:

1. Oblicz półobwód $s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$
2. Pole podstawy $S_{\text{podstawa}} = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6 \, \text{cm}^2$
3. Objętość $V = \frac{1}{3} \times 6 \times 10 = 20 \, \text{cm}^3$

Przykład 3: Znane dwa boki i kąt zawarty

Dla trójkątnej podstawy z $a = 5 \, \text{cm}$, $b = 6 \, \text{cm}$, kąt $\theta = 60^\circ$, oraz wysokość piramidy $8 \, \text{cm}$:

1. Pole podstawy $S_{\text{podstawa}} = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \sin(60^\circ) = \frac{15\sqrt{3}}{2} \, \text{cm}^2$
2. Objętość $V = \frac{1}{3} \times \frac{15\sqrt{3}}{2} \times 8 = 20\sqrt{3} \, \text{cm}^3$

Najczęściej Zadawane Pytania

Jaka jest objętość piramidy trójkątnej, jeśli znane są pole podstawy i wysokość?

Objętość piramidy trójkątnej jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokości.

Ile ścian trójkątnych ma piramida?

Piramida trójkątna składa się z czterech ścian trójkątnych: podstawy i trzech ścian bocznych.

Czy piramida trójkątna może mieć poziomą podstawę?

Tak, podstawa piramidy trójkątnej jest często przedstawiana jako pozioma w konwencjonalnych ilustracjach, chociaż w rzeczywistości może być ustawiona w dowolnej pozycji względem innej płaszczyzny odniesienia.

Jaka jest różnica między piramidą trójkątną a czworościanem?

Czworościan to wielościan z czterema trójkątnymi ścianami, który może być regularny (wszystkie krawędzie i kąty są równe) lub nieregularny. Piramida trójkątna to szczególny przypadek czworościanu, gdzie jedna ściana jest podstawą, a pozostałe trzy są ścianami bocznymi. Dlatego wszystkie piramidy trójkątne są czworościanami, ale nie wszystkie czworościany mają koniecznie wyznaczoną podstawę.

Jaka jest objętość regularnej piramidy trójkątnej, jeśli długość krawędzi podstawy wynosi 3?

Dla regularnego czworościanu lub regularnej piramidy trójkątnej (gdzie wszystkie krawędzie są równe), objętość jest obliczana za pomocą wzoru: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times a^3$ Podstawiając $a = 3$: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 3^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 27 = \frac{27\sqrt{2}}{12} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

Objętość regularnej piramidy trójkątnej wynosi 3,182 cm³.

Uwaga: Jeśli termin “regularna piramida trójkątna” odnosi się do piramidy z regularnym trójkątem w podstawie i równymi krawędziami bocznymi, ale niekoniecznie z równymi krawędziami podstawy i krawędziami bocznymi, wtedy wzór na objętość będzie zależał od wysokości piramidy i pola podstawy. W takim przypadku wzór na objętość będzie zależał od wysokości piramidy i pola podstawy.