Kalkulator objętości ostrosłupa ściętego

Co to jest ostrosłup ścięty?

Ostrosłup ścięty, znany również jako frustum, to trójwymiarowa forma geometryczna utworzona przez odcięcie wierzchołka ostrosłupa płaszczyzną równoległą do jego podstawy. To skutkuje dwiema równoległymi podstawami wielokątnymi (oryginalną podstawą i ściętą górą), połączonymi przez trapezowate ściany. Ostrosłupy ścięte są często spotykane w architekturze, inżynierii i codziennych przedmiotach, takich jak wiadra czy abażury.

Formuła na objętość ostrosłupa ściętego

Objętość $V$ ostrosłupa ściętego można obliczyć przy użyciu powierzchni dwóch podstaw i wysokości (pionowej odległości między podstawami). Formuła to:

Gdzie:

• $S_1$ = Powierzchnia dolnej podstawy
• $S_2$ = Powierzchnia górnej podstawy
• $h$ = Wysokość ostrosłupa ściętego

Formuła ta ma zastosowanie tylko wtedy, gdy cięcie jest równoległe do podstawy, a obie podstawy są podobne kształtem (np. oba kwadraty lub oba prostokąty).

Przykłady obliczeń krok po kroku

Przykład 1: Kwadratowe podstawy

Problem:
Ostrosłup ścięty ma powierzchnię dolnej podstawy $100 \, \text{cm}^2$, powierzchnię górnej podstawy $25 \, \text{cm}^2$ i wysokość $12 \, \text{cm}$. Oblicz jego objętość.

Rozwiązanie:

1. Podstaw wartości do formuły: $$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \left( 100 + 25 + \sqrt{100 \cdot 25} \right)$$
2. Uprość wyrażenie pod pierwiastkiem: $$\sqrt{100 \cdot 25} = \sqrt{2\,500} = 50$$
3. Połącz wyrażenia: $$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot (100 + 25 + 50) = 4 \cdot 175 = 700 \, \text{cm}^3$$

Przykład 2: Prostokątne podstawy

Problem:
Frustum ma dolną podstawę $8 \, \text{m} \times 6 \, \text{m}$ i górną podstawę $4 \, \text{m} \times 3 \, \text{m}$. Wysokość wynosi $5 \, \text{m}$. Znajdź jego objętość.

Rozwiązanie:

1. Oblicz powierzchnie: $$S_1 = 8 \cdot 6 = 48 \, \text{m}^2, \quad S_2 = 4 \cdot 3 = 12 \, \text{m}^2$$
2. Podstaw do formuły: $$V = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot \left( 48 + 12 + \sqrt{48 \cdot 12} \right)$$
3. Uprość wyrażenie pod pierwiastkiem: $$\sqrt{576} = 24$$
4. Połącz wyrażenia: $$V = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot 84 = 140 \, \text{m}^3$$

Kontekst historyczny i zastosowania

Koncepcja ostrosłupów ściętych sięga czasów starożytnych cywilizacji. Na przykład:

• Egipskie piramidy były często budowane z ściętymi wierzchołkami ze względów religijnych lub konstrukcyjnych.
• Mezopotamskie zigguraty przypominały kształtem warstwowe ostrosłupy ścięte.

Współczesne zastosowania obejmują:

• Architektura: Projektowanie świetlików lub atriów.
• Inżynieria: Obliczanie objętości materiału dla elementów takich jak kominy czy rurociągi.
• Modelowanie 3D: Tworzenie zwężających się kształtów w grafice komputerowej.

Częste błędy do unikania

1. Mylące wysokość z wysokością skośną: Wysokość $h$ to pionowa odległość między podstawami, a nie długość bocznej ściany.
2. Nieparalne podstawy: Formuła zakłada, że podstawy są równoległe. Jeśli nie są, kształt nie jest frustum, a formuła nie ma zastosowania.
3. Niespójne jednostki: Upewnij się, że wszystkie pomiary (powierzchnie i wysokość) używają tego samego systemu jednostek.

Powierzchnia podstaw

Dla obliczenia powierzchni podstaw ostrosłupa ściętego można użyć następujących kalkulatorów:

• Powierzchnia kwadratu
• Powierzchnia prostokąta
• Powierzchnia trójkąta
• Powierzchnia wielokąta regularnego
• Powierzchnia trapezu

Najczęściej zadawane pytania

Jak przeliczyć jednostki przed obliczeniem?

Przelicz wszystkie pomiary na tę samą jednostkę. Na przykład, jeśli $S_1 = 2 \, \text{m}^2$, $S_2 = 1\,500 \, \text{cm}^2$, przelicz $S_2$ na $0{,}15 \, \text{m}^2$ przed zastosowaniem formuły. Do konwersji jednostek powierzchni użyj naszego konwertera konwerter jednostek powierzchni.

Dlaczego w formule jest pierwiastek kwadratowy?

Wyrażenie $\sqrt{S_1 \cdot S_2}$ jest geometrycznie średnią dwóch powierzchni podstaw, uwzględniającą liniowe skalowanie między nimi z powodu wysokości.

Jaka jest objętość ostrosłupa ściętego z podstawami 10x10 cm i 5x5 cm oraz wysokością 7 cm?

Objętość ostrosłupa ściętego wynosi 408,33 cm³.