Zapisane kalkulatory
Zapisane kalkulatory
Matematyka

Kalkulator objętości

Zgłoś błąd

Udostępnij kalkulator

Dodaj nasz darmowy kalkulator do swojej strony internetowej

Proszę wprowadzić ważny URL. Obsługiwane są tylko adresy HTTPS.
Użyj jako wartości domyślnych dla osadzonego kalkulatora to, co znajduje się obecnie w polach wprowadzania kalkulatora na stronie.
Kolor z fokusem obręczy wprowadzania, kolor zaznaczonej przełączki, kolor elementu wyboru podczas najechania itp.
Proszę zaakceptować Warunki Użytkowania.
Prévisualisation

Zapisz kalkulator

Co to jest objętość?

Objętość to miara trójwymiarowej przestrzeni zajmowanej przez obiekt. Jest wyrażana w jednostkach sześciennych (np. metry sześcienne, centymetry sześcienne) i jest niezbędna w dziedzinach takich jak inżynieria, architektura, medycyna oraz w codziennych zadaniach, takich jak gotowanie czy pakowanie.

Wzory do obliczania objętości

Poniżej znajdują się wzory do obliczania objętości 12 najczęstszych kształtów geometrycznych:

1. Sześcian

Sześcian ma wszystkie boki równej długości.

V=a3V = a^3

gdzie aa = długość boku.

2. Prostopadłościan (równoległościan)

Kształt trójwymiarowy z sześcioma prostokątnymi płaszczyznami.

V=l×w×hV = l \times w \times h

gdzie ll = długość, ww = szerokość, hh = wysokość.

3. Kula

Idealnie okrągły obiekt trójwymiarowy.

V=43πr3V = \frac{4}{3} \pi r^3

gdzie rr = promień.

4. Cylinder

Bryła z dwiema przystającymi kołowymi podstawami połączonymi powierzchnią krzywiznową.

V=πr2hV = \pi r^2 h

gdzie rr = promień, hh = wysokość.

5. Stożek

Kształt, który zwęża się równomiernie od kołowej podstawy do szczytu.

V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h

gdzie rr = promień podstawy, hh = wysokość.

6. Ostrosłup

Wielościan z podstawą wielokątną i trójkątnymi ścianami zbieżnymi w wierzchołku.

V=13ShV = \frac{1}{3} S h

gdzie SS = pole podstawy, hh = wysokość.

7. Elipsoida

Trójwymiarowy odpowiednik elipsy.

V=43πabcV = \frac{4}{3} \pi a b c

gdzie a,b,ca, b, c = długości półosi.

8. Kapsuła

Cylinder z półkulistymi końcami.

V=πr2(43r+h)V = \pi r^2 \left( \frac{4}{3} r + h \right)

gdzie rr = promień, hh = wysokość cylindra.

9. Półkula

Połowa kuli.

V=23πr3V = \frac{2}{3} \pi r^3

gdzie rr = promień.

10. Czworościan

Ostrosłup o trójkątnej podstawie.

V=212a3V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3

gdzie aa = długość krawędzi.

11. Graniastosłup

Wielościan z dwoma przystającymi i równoległymi podstawami.

V=S×hV = S \times h

gdzie SS = pole podstawy, hh = wysokość.

12. Segment kuli (czasza sferyczna)

Część kuli odcięta przez płaszczyznę.

V=πh2(3a−h)3V = \frac{\pi h^2 (3a - h)}{3}

gdzie aa = promień kuli, hh = wysokość czaszy.

Przykłady krok po kroku

Przykład 1: Objętość cylindra

Problem: Oblicz objętość cylindra o promieniu 2,5 metra i wysokości 7 metrów.
Rozwiązanie:

V=π(2,5)2×7=π×6,25×7≈137,44 m3V = \pi (2,5)^2 \times 7 = \pi \times 6,25 \times 7 \approx 137,44 \, \text{m}^3

Przykład 2: Objętość wielościanu składającego się z dwóch graniastosłupów

Problem: Znajdź objętość wielościanu składającego się z dwóch graniastosłupów: prostopadłościanu o podstawie 4x4 i graniastosłupa trójkątnego o podstawie 4x3. Wysokość graniastosłupów wynosi 9 cm. Rozwiązanie:
Pole podstawy prostopadłościanu S1=4×4=16 cm2S_1 = 4 \times 4 = 16 \, \text{cm}^2 Objętość prostopadłościanu V1=S1×h=16×9=144 cm3V_1 = S_1 \times h = 16 \times 9 = 144 \, \text{cm}^3 Pole podstawy graniastosłupa trójkątnego S2=12×4×3=6 cm2S_2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \, \text{cm}^2
Objętość graniastosłupa trójkątnego V2=S2×h=6×9=54 cm3V_2 = S_2 \times h = 6 \times 9 = 54 \, \text{cm}^3 Całkowita objętość wielościanu V=V1+V2=144+54=198 cm3V = V_1 + V_2 = 144 + 54 = 198 \, \text{cm}^3

Historyczny kontekst i ewolucja obliczeń objętości

Pojęcie objętości sięga starożytnych cywilizacji:

  • Egipt (ok. 1850 p.n.e.): Papirus Rhind szczegółowo opisuje metody obliczania objętości spichlerzy (cylindrów) i piramid.
  • Grecja (ok. 250 p.n.e.): Archimedes wyprowadził wzór na objętość kuli metodą wyczerpania.
  • Chiny (ok. 200 n.e.): Dziewięć rozdziałów o sztuce matematycznej zawierało wzory dla graniastosłupów i ostrosłupów.

Powszechne błędy i jak ich unikać

  1. Spójność jednostek: Upewnij się, że wszystkie pomiary są w tej samej jednostce przed obliczeniem.
    Przykład: Mieszanie metrów i centymetrów da błędne wyniki.
  2. Błędna identyfikacja wymiarów: Mylenie promienia z średnicą (np. w kulach).
  3. Zła aplikacja wzorów: Użycie wzoru na cylinder dla stożka. Sprawdź definicję kształtu.

Zastosowania obliczeń objętości

  • Inżynieria: Ustalanie ilości betonu potrzebnego na fundamenty.
  • Medycyna: Obliczanie dawek leków na podstawie objętości ciała.
  • Codzienne życie: Szacowanie ilości farby potrzebnej na pomieszczenie.

Najczęściej zadawane pytania

Jak obliczyć objętość złożonej formy jak dom (prostopadłościan + graniastosłup trójkątny)?

Aby obliczyć objętość złożonej formy, należy obliczyć objętość każdego elementu, a następnie je dodać. Rozwiązanie:

  1. Oblicz objętość prostokątnej podstawy: V1=l×w×hV_1 = l \times w \times h.
  2. Oblicz objętość trójkątnego dachu: V2=12×b×htroˊjkąt×lV_2 = \frac{1}{2} \times b \times h_{\text{trójkąt}} \times l.
  3. Dodaj obie objętości: Vcałkowita=V1+V2V_{\text{całkowita}} = V_1 + V_2.

Ile wody może pomieścić zbiornik sferyczny o promieniu 3 metrów?

Rozwiązanie:

V=43π(3)3=43π×27≈113,10 m3 (lub 113097 litroˊw).V = \frac{4}{3} \pi (3)^3 = \frac{4}{3} \pi \times 27 \approx 113,10 \, \text{m}^3 \, (\text{lub } 113 097 \, \text{litrów}).

Jaka jest różnica między objętością a pojemnością?

Objętość mierzy przestrzeń zajmowaną przez obiekt, podczas gdy pojemność odnosi się do maksymalnej ilości, jaką może pomieścić pojemnik. Używają tych samych jednostek (np. litry).

Jak znaleźć objętość nieregularnego obiektu?

Użyj metody przemieszczenia wody:

  1. Napełnij menzurkę wodą.
  2. Zanurz obiekt.
  3. Objętość równa jest objętości wypartej wody.

Podobne kalkulatory

Polityka prywatności Warunki użytkowania