Matemática

Encontre o perímetro da elipse

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O que é o perímetro de uma elipse?

O perímetro de uma elipse é o comprimento de seu limite. Uma elipse é uma figura geométrica que generaliza um círculo e é definida por dois eixos: o eixo maior (a) e o eixo menor (b). Por causa de sua forma, encontrar o perímetro de uma elipse é uma tarefa mais complexa do que calcular a circunferência de um círculo. Não existe uma fórmula única para calcular exatamente o perímetro de uma elipse usando meios elementares, e por esse motivo, várias fórmulas aproximadas são usadas.

Uma das fórmulas aproximadas mais conhecidas para calcular o perímetro de uma elipse é a fórmula de Ramanujan. O matemático indiano Srinivasa Ramanujan propôs esta fórmula no início do século XX, e desde então tem sido amplamente aplicada devido à sua precisão em aproximação. Esta fórmula ilustra como a elipse pode ser considerada no contexto de problemas geométricos e cálculos do dia a dia.

História da fórmula de Ramanujan

A fórmula de Ramanujan para o cálculo aproximado do perímetro de uma elipse foi proposta no início dos anos 1900. Srinivasa Ramanujan, um renomado matemático indiano, desenvolveu esta fórmula após numerosos experimentos e análises de vários métodos de aproximação. Sua abordagem simplificou significativamente o cálculo do comprimento da elipse com alta precisão sem a necessidade de ferramentas matemáticas complexas.

A fórmula foi publicada em uma de suas cartas para G.H. Hardy, com quem Ramanujan tinha uma colaboração profissional. Embora a fórmula em si seja aproximada, ela demonstrou sua eficácia em muitas aplicações práticas, fornecendo resultados com alta precisão.

Aplicação da fórmula e sua precisão

Embora a fórmula de Ramanujan não seja a única disponível, seu valor está na sua simplicidade e acessibilidade para cálculos. Ela é usada em várias tarefas de engenharia e científicas onde é necessário conhecimento sobre o perímetro de uma elipse, como em arquitetura, engenharia mecânica e astronomia.

A fórmula de Ramanujan evita o uso de integrais complexas e equações diferenciais que seriam necessários para o cálculo exato do comprimento da curva da elipse. Entretanto, para cálculos mais precisos, métodos computacionais mais complexos, como a integração numérica, podem ser usados.

Fórmula

A fórmula de Ramanujan para calcular aproximadamente o perímetro de uma elipse é a seguinte:

P≈π[3(a+b)−(3a+b)(a+3b)]P \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]

onde aa é o semi-eixo maior da elipse, e bb é o semi-eixo menor da elipse.

Esta fórmula permite calcular o perímetro com base em operações aritméticas elementares e na função da raiz quadrada.

Exemplos

Exemplo 1
Para uma elipse com um semi-eixo maior a=5a = 5 e um semi-eixo menor b=3b = 3, o perímetro é calculado aproximadamente como:

P≈π[3(5+3)−(3×5+3)(5+3×3)]P \approx \pi \left[3(5+3) - \sqrt{(3 \times 5 + 3)(5 + 3 \times 3)}\right]

O cálculo dá:

P≈π[24−(15+3)(5+9)]P \approx \pi \left[24 - \sqrt{(15+3)(5+9)}\right] P≈π[24−18×14]P \approx \pi \left[24 - \sqrt{18 \times 14}\right] P≈π[24−15.3]≈25.53P \approx \pi \left[24 - 15.3\right] \approx 25.53

Exemplo 2
Suponha que a=10a = 10 e b=7b = 7, calculamos o perímetro da elipse:

P≈π[3(10+7)−(3×10+7)(10+3×7)]P \approx \pi \left[3(10+7) - \sqrt{(3 \times 10 + 7)(10 + 3 \times 7)}\right] P≈π[51−(30+7)(10+21)]P \approx \pi \left[51 - \sqrt{(30+7)(10+21)}\right] P≈π[51−37×31]P \approx \pi \left[51 - \sqrt{37 \times 31}\right] P≈π[51−34.06]≈53.82P \approx \pi \left[51 - 34.06\right] \approx 53.82

Notas

A fórmula de Ramanujan é suficiente para a maioria das necessidades práticas, mas sua precisão pode diminuir para elipses muito alongadas, onde a razão entre os eixos maior e menor difere significativamente.

Para maior flexibilidade e precisão, especialmente para aplicações profissionais, métodos mais complexos, como a integração numérica, podem ser usados para levar em conta as especificidades do modelo matemático da elipse.

Perguntas frequentes

Por que esta fórmula é aproximada?

A fórmula de Ramanujan aproxima o perímetro porque a geometria da elipse não possui uma solução elementar exata para o comprimento da sua periferia.

Como encontrar o perímetro de uma elipse, dados os comprimentos dos semi-eixos de 2,5 e 3,5 cm?

Usando a fórmula de Ramanujan:

P≈π[3(2.5+3.5)−(3×2.5+3.5)(2.5+3×3.5)]P \approx \pi \left[3(2.5+3.5) - \sqrt{(3 \times 2.5 + 3.5)(2.5 + 3 \times 3.5)}\right] P≈π[18−11×13.5]P \approx \pi \left[18 - \sqrt{11 \times 13.5}\right] P≈π[18−148.5]P \approx \pi \left[18 - \sqrt{148.5}\right] P≈π[18−12.19]≈18.98P \approx \pi \left[18 - 12.19\right] \approx 18.98

Os valores dos semi-eixos de uma elipse são suficientes para calcular sua área?

Sim, os valores dos semi-eixos aa e bb são suficientes para calcular a área de uma elipse. A fórmula para a área de uma elipse é: S=π⋅a⋅bS = \pi \cdot a \cdot b. Para sua conveniência, você pode usar a calculadora de área da elipse.

Qual é o termo correto: a circunferência de uma elipse ou o perímetro de uma elipse?

O termo correto é “o perímetro de uma elipse”. O termo “circunferência” é tradicionalmente usado para conceitos associados a círculos, enquanto uma elipse geralmente não é um círculo.

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