Calculadora de triângulo isósceles

O que é um triângulo isósceles?

Um triângulo isósceles é uma figura geométrica caracterizada por ter dois lados iguais, conhecidos como pernas. O terceiro lado, que não é igual aos outros dois, é referido como a base. Uma propriedade notável dos triângulos isósceles é que os ângulos opostos aos lados iguais, conhecidos como ângulos da base, também são iguais. O ângulo entre os dois lados iguais é chamado de ângulo do vértice. Devido à sua simetria, os triângulos isósceles são amplamente utilizados na geometria e possuem inúmeras propriedades interessantes e teoremas associados a eles.

O que esta calculadora pode computar?

Esta calculadora permite calcular online os lados, alturas, ângulos, área e perímetro de um triângulo isósceles se certos parâmetros forem conhecidos. Para calcular outros parâmetros de um triângulo isósceles, você pode usar calculadoras adicionais para os lados, base, altura e ângulos.

Termos e notações principais

• Pernas ($a$): Os dois lados iguais do triângulo.
• Base ($b$): O lado que é diferente das pernas, localizado oposto ao vértice.
• Altura do vértice ($h_1$): Uma perpendicular desenhada do vértice para a base (também funciona como mediana e bissetriz do ângulo).
• Altura para as pernas ($h_2$): Uma perpendicular desenhada dos ângulos da base para a perna oposta.
• Ângulo do vértice ($\beta$): O ângulo entre as duas pernas iguais.
• Ângulos da base ($\alpha$): Os ângulos localizados nas extremidades da base.
• Perímetro ($P$): A soma dos comprimentos de todos os lados do triângulo.
• Área ($S$): O espaço encerrado pelos lados do triângulo.

Propriedades de um triângulo isósceles

1. Igualdade das pernas: As pernas (denotadas como $a$) são iguais em comprimento.
2. Igualdade dos ângulos da base: Os ângulos da base (denotados como $\alpha$) são iguais.
3. Portador de mediana, altura e bissetriz: Do vértice, a altura, mediana e bissetriz coincidem e formam um ângulo reto com a base.
4. Igualdade das alturas para as pernas: As alturas dos ângulos da base para as pernas opostas são iguais.
5. Igualdade das bissetrizes dos ângulos da base: As bissetrizes dos ângulos da base são iguais.

Fórmulas

Vamos apresentar as fórmulas básicas para o cálculo de alguns valores do triângulo isósceles.

1. Fórmula para calcular o lado $a$:

   $$a = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + h_1^2}$$

2. Fórmula para calcular a base $b$:

   $$b = \sqrt{4a^2 - 4h_1^2}$$

3. Calcular a altura a partir do vértice (mediana e bissetriz) $h_1$:

   $$h_1 = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

4. Fórmula para calcular a altura ao lado $h_2$:

   $$h_2 = a \cdot \sin\left(\beta\right)$$

5. Descobrir o ângulo do vértice $\beta$:

   $$\beta = 180^\circ - 2 \cdot \arccos\left(\frac{b}{2a}\right)$$

6. Calcular os ângulos da base $\alpha$:

   $$\alpha = \frac{180^\circ - \beta}{2}$$

7. Cálculo da área $S$ com as fórmulas:

   Conhecendo as pernas e a base:

   $$S = \frac{1}{4} \cdot b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}$$

   Conhecendo a base e a altura:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1$$

   Conhecendo a perna e o ângulo do vértice:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(\beta)$$

8. Perímetro ($P$):

   $$P = 2a + b$$

   Se a base $b$ e a altura $h_1$ forem conhecidas, substitua $a$ na fórmula do perímetro por:

   $$a = \sqrt{h_1^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}$$

   Se a perna $a$ e o ângulo do vértice $\beta$ forem conhecidos, substitua $b$ por:

   $$b = 2a \cdot \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)$$

Exemplos

Exemplo de cálculo do lado

Suponhamos que temos um triângulo com uma base de $b = 8$ e uma altura a partir do vértice $h_1 = 6$. Encontramos o lado $a$:

Exemplo de cálculo da base

Se o lado é $a = 5$ e a altura a partir do vértice $h_1 = 4$, calculamos a base $b$:

Descobrir o ângulo do vértice

Se o lado $a = 10$ e a base $b = 16$, encontramos o ângulo do vértice $\beta$:

Cálculo da área

Exemplo 1: Encontre a área de um triângulo isósceles com comprimento da perna $a = 5$ cm e comprimento da base $b = 6$ cm.

Usando a fórmula:

Substitua os valores conhecidos:

Exemplo 2: Encontre a área de um triângulo isósceles com base de $b = 8$ cm e altura $h_1 = 5$ cm.

Usando a fórmula:

Substitua os valores conhecidos:

Exemplo 3: Encontre a área de um triângulo isósceles com uma perna $a = 7$ cm e ângulo do vértice $\beta = 45^\circ$.

Usando a fórmula:

Substitua os valores conhecidos:

Exemplo de cálculo de perímetro

Exemplo 1: Se a base de um triângulo isósceles é de 8 cm e sua altura é de 6 cm, encontre o perímetro.

1. Calcule a perna:

   $$a = \sqrt{6^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} \approx 7.21 \text{ cm}$$

2. Perímetro ($P$):

   $$P = 2 \times 7.21 + 8 = 22.42 \text{ cm}$$

Exemplo 2: Se a perna de um triângulo isósceles é de 10 cm e o ângulo do vértice é de 60º, encontre o perímetro.

1. Calcule a base:

   $$b = 2 \times 10 \cdot \sin\left(30º\right) = 20 \times 0.5 = 10 \text{ cm}$$

2. Perímetro ($P$):

   $$P = 2 \times 10 + 10 = 30 \text{ cm}$$

Notas

• Um triângulo isósceles pode ser um triângulo equilátero se todos os lados forem iguais.
• A altura também atua como mediana e bissetriz devido à sua simetria.
• Funções trigonométricas são frequentemente utilizadas para calcular ângulos e alturas.

Perguntas frequentes

Como é calculado a área de um triângulo isósceles?

A área de um triângulo isósceles pode ser calculada de várias formas:

• Conhecendo a base e a altura: $S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1$
• Conhecendo a perna e o ângulo do vértice: $S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(\beta)$
• Conhecendo a base e uma perna: $S = \frac{1}{4} \cdot b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}$

Todas as alturas em um triângulo isósceles são iguais?

Não, a altura do vértice é igual à mediana e bissetriz para a base, enquanto as alturas dos ângulos da base para as pernas opostas são iguais entre si.

Como encontrar o perímetro de um triângulo isósceles se a perna é de 7 cm e a base é de 10.5 cm?

Use a fórmula: $P = 2a + b$.

Neste caso, $a = 7$, $b = 10.5$; portanto, $P = 2 \times 7 + 10.5 = 24.5 \text{ cm}$.

Quais dados são necessários para calcular o perímetro de um triângulo isósceles?

Para calcular o perímetro, o comprimento da base e uma perna são suficientes. A altura ou os ângulos também podem ser usados em cálculos combinados.

A fórmula de Heron pode ser usada para calcular a área de um triângulo isósceles?

A fórmula de Heron pode certamente ser usada para determinar a área se todos os lados do triângulo forem conhecidos. Ela é aplicável a triângulos isósceles, bem como a qualquer outro triângulo.