Calculadora de ângulos de triângulo isósceles

O que é um triângulo isósceles

Um triângulo isósceles é definido como um triângulo com dois lados iguais. Esses lados iguais são chamados de pernas (denotados como $a$), enquanto o terceiro lado é chamado de base (denotada como $b$). Em um triângulo isósceles, os ângulos adjacentes à base também são iguais (denotados como $α$), e o ângulo entre as pernas é chamado de ângulo do vértice (denotado como $β$).

Propriedades de um triângulo isósceles

O triângulo isósceles possui várias propriedades principais:

1. Dois lados do triângulo são iguais ($a_1 = a_2 = a$).
2. Os ângulos da base são iguais ($α_1 = α_2 = α$).
3. A altura traçada para a base ($h_1$) é uma mediana, bem como uma bissetriz do ângulo.
4. A altura $h_1$ divide a base em duas partes iguais.
5. A soma de todos os ângulos de um triângulo é igual a 180°.
6. Em um triângulo isósceles, o ângulo do vértice e os ângulos da base estão relacionados por: $β + 2α = 180°$.

Calculando ângulos de um triângulo isósceles

Existem vários métodos para determinar os ângulos de um triângulo isósceles dependendo dos elementos conhecidos:

Dados os lados e a base

Quando você conhece as pernas $(a)$ e a base $(b)$, você pode encontrar os ângulos usando as fórmulas a seguir:

Ângulo na base $(α)$:

$$\alpha = \arccos\left(\frac{b}{2a}\right)$$

Ângulo do vértice $(β)$:

$$β = 180° - 2α$$

Dado um ângulo conhecido

Quando um dos ângulos é conhecido, o outro ângulo é encontrado usando as fórmulas:

1. Se o ângulo da base $(α)$ é conhecido:

$$β = 180° - 2α$$

2. Se o ângulo do vértice $(β)$ é conhecido:

$$α = \frac{180° - β}{2}$$

Exemplos

Exemplo 1

Dadas as comprimentos das pernas $a = 10 \ \text{cm}$ e base $b = 12 \ \text{cm}$. Encontre os ângulos do triângulo.

Solução:

1. Calcule o ângulo da base:

$$α = \arccos\left(\frac{12}{2 \cdot 10}\right) = \arccos(0.6) ≈ 53.13°$$

2. Calcule o ângulo do vértice:

$$β = 180° - 2 \cdot 53.13° = 73.74°$$

Exemplo 2

Dado um ângulo do vértice $β = 120°$. Encontre os ângulos da base.

Solução:

$$α = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$$

Aplicação prática

Saber os ângulos de um triângulo isósceles tem aplicações práticas em diversos campos:

1. Arquitetura - especialmente no design de estruturas de telhado.
2. Construção - para construir estruturas estáveis.
3. Topografia - para medição de terras e mapeamento.
4. Navegação - para determinar distâncias e direções.
5. Design - criar padrões e decorações simétricas.

Notas

1. Lembre-se sempre que a soma de todos os ângulos de um triângulo é de 180°.
2. Em um triângulo isósceles, a altura $h_1$ divide o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes.
3. Use uma calculadora para determinar com precisão os valores das funções trigonométricas durante os cálculos.

Perguntas frequentes

Como encontrar os ângulos de um triângulo isósceles se uma perna é a = 15 cm, e a base é b = 14 cm?

Calcule o ângulo da base:

$$\alpha = \arccos\left(\frac{14}{2 \cdot 15}\right) = \arccos(0.467) ≈ 62.16°$$

Calcule o ângulo do vértice:

$$β = 180° - 2 \cdot 62.16° = 55.68°$$

Um triângulo isósceles pode ter um ângulo reto?

Sim, se o ângulo do vértice é 90°, os ângulos da base serão cada um de 45°. Tal triângulo é também conhecido como triângulo isósceles retângulo.

Quais são os ângulos de um triângulo isósceles se também for um triângulo equilátero?

Em um triângulo equilátero, todos os lados e ângulos são iguais. Cada ângulo é de 60°.

Como você pode determinar se um triângulo é isósceles, sabendo apenas seus ângulos?

Se dois ângulos em um triângulo são iguais, o triângulo é isósceles.

Qual é o ângulo do vértice máximo possível para um triângulo isósceles?

Teoricamente, o ângulo do vértice pode se aproximar de 180°, mas não pode alcançá-lo exatamente. Praticamente, isso significa que as pernas são quase paralelas e a base é muito pequena em relação às pernas.