Calculadora de altura do triângulo isósceles

O que é a altura de um triângulo isósceles

A altura de um triângulo isósceles é uma linha perpendicular traçada a partir do vértice (o ponto onde os dois lados iguais se encontram) até a base, ou extensão da base, do triângulo. Em um triângulo isósceles, dois lados são iguais em comprimento (conhecidos como lados laterais), enquanto o terceiro lado é a base. A altura do vértice à base bissecta a base, criando dois segmentos iguais, e atua como a bissetriz do ângulo no vértice. Você pode usar nossa calculadora de triângulo isósceles para calcular sua área e perímetro.

Características das alturas em um triângulo isósceles

Em um triângulo isósceles, a altura traçada do vértice à base tem várias características notáveis:

• Divide a base em duas partes iguais.
• Atua como a mediana do triângulo.
• É a bissetriz do ângulo no vértice.
• É perpendicular à base.

A altura de um ângulo da base a um lado lateral tem suas próprias características:

• É igual à altura do ângulo da base oposto.
• Forma um ângulo reto com o lado lateral.
• Divide o lado lateral em segmentos desiguais.

Fórmulas para calcular alturas

Altura do vértice (h₁)

1. Usando o lado lateral e a base: $h_1 = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$

2. Usando a área e a base: $h_1 = \frac{2S}{b}$

3. Usando o ângulo base e o lado lateral: $h_1 = a \sin{\alpha}$

Altura do ângulo da base (h₂)

1. Usando o ângulo do vértice e o lado lateral: $h_2 = a \sin{\beta}$

2. Usando o lado lateral e a base. Para começar, usaremos a fórmula para a altura do vértice: $h_2 = a \sin{\beta}$ onde o cálculo para o ângulo $\beta$ é realizado como: $\beta = 180° - 2\alpha$, com $\alpha=\arccos{\left(\frac{b}{2a}\right)}$

3. Usando a área e o lado lateral: $h_2 = \frac{2S}{a}$

Exemplos de cálculos

Exemplo 1

Dado: Lado lateral $a = 10$ cm, base $b = 12$ cm. Encontrar: Altura do vértice $h_1$

Solução: $h_1 = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}} = \sqrt{100 - \frac{144}{4}} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm

Exemplo 2

Dado: Área $S = 60 \text{ cm}^2$, base $b = 10 \text{ cm}$ Encontrar: Altura do vértice $h_1$

Solução: $h_1 = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 60}{10} = 12$ cm

Exemplo 3

Dado: Ângulo do vértice $\beta = 36°$, lado lateral $a = 15 \text{ cm}$ Encontrar: Altura do vértice $h_2$

Solução: $h_2 = a \sin{\beta} = 15 \sin{36°} = 15 \times 0.5878 \approx 8.817 \text{ cm}$

Exemplo 4

Dado: Área $S = 40 \text{ cm}^2$, lado lateral $a = 13 \text{ cm}$ Encontrar: Altura do ângulo da base $h_2$

Solução: $h_2 = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 40}{13} \approx 6.15 \text{ cm}$

Notas importantes

1. Ao calcular a altura, lembre-se de que em um triângulo isósceles:

   • Os lados laterais são iguais.
   • Os ângulos da base são iguais.
   • A soma de todos os ângulos é igual a 180°.

2. Considere as relações entre os elementos do triângulo:

   • Se $\alpha$ é um ângulo da base, então $\beta = 180° - 2\alpha$
   • Se $\beta$ é o ângulo do vértice, então $\alpha = \frac{180° - \beta}{2}$

3. A altura pode ser desenhada dentro ou fora do triângulo, dependendo dos ângulos:

   • Se o ângulo do vértice é agudo, a altura está dentro do triângulo.
   • Se o ângulo do vértice é obtuso, a altura está fora do triângulo.
   • Se o ângulo do vértice é reto, a altura coincide com o lado lateral.

Perguntas frequentes

Como encontrar a altura de um triângulo isósceles se o lado lateral é $a = 17 \text{ cm}$ e o ângulo da base é $\alpha = 42°$?

$h_1 = a \sin{\alpha} = 17 \sin{42°} = 17 \times 0.669 \approx 11.37 \text{ cm}$

Qual é a diferença entre a altura do vértice e a altura do ângulo da base?

A altura do vértice é medida até a base e bissecta o ângulo do vértice, enquanto a altura de um ângulo da base é medida até um lado lateral e não tem propriedades especiais além de ser perpendicular ao lado.

A altura de um triângulo isósceles pode ser maior que seu lado lateral?

Não, a altura é sempre menor que o lado lateral, pois atua como um cateto de um triângulo retângulo onde o lado lateral é a hipotenusa.

Como a altura do triângulo muda se a base é aumentada enquanto os lados laterais permanecem constantes?

Aumentar o comprimento da base reduzirá a altura do vértice, enquanto a altura de um ângulo da base inicialmente aumentará e depois diminuirá.

Como encontrar a altura de um triângulo isósceles se a área é $S = 48 \text{ cm}^2$ e a base é $b = 16 \text{ cm}$?

$h_1 = \frac{2S}{b} = \frac{2 \times 48}{16} = 6 \text{ cm}$

Qual é a altura de um triângulo isósceles quando seus lados laterais são iguais à sua base?

Nesse caso, o triângulo é equilátero, e a altura é calculada como: $h_1 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ onde $a$ é o comprimento do lado do triângulo.