Calculadora de volume de poliedros

O que é uma calculadora de volume de poliedros?

A calculadora de volume de poliedros permite calcular o volume de uma figura baseada em dois critérios diferentes:

1. O volume de um poliedro cujos vértices são pontos de um paralelepípedo retangular;
2. Uma forma composta feita de dois paralelepípedos retangulares conectados; calcula o volume total da forma 3D formada por dois prismas retangulares.

Fórmulas

Fórmula para um poliedro inscrito em um paralelepípedo

Primeiramente, determine o tipo de poliedro inscrito no paralelepípedo:

1. Se o poliedro for uma pirâmide (por exemplo, com uma base em uma face do paralelepípedo e um vértice no canto oposto), o volume é calculado como:

onde $S$ é a área da base, e $h$ é a altura (distância do vértice à base).

2. Se o poliedro for um prisma (por exemplo, entre duas faces paralelas), o volume é:

onde $S$ é a área da base, e $h$ é a altura do prisma.

Fórmula para um poliedro composto

O volume total $V$ de um poliedro composto é calculado como:

Onde:

• $L_1$ e $L_2$: comprimentos (lados longos) dos primeiro e segundo paralelepípedos.
• $W_1$ e $W_2$: larguras (lados curtos) dos dois paralelepípedos.
• $H$: altura comum.

Exemplos passo a passo

Exemplo 1: Volume de um Poliedro com Base nos Vértices de um Paralelepípedo

Encontre o volume de um poliedro cujos vértices são os pontos $A, D, A_1, B, C, B_1$ de um paralelepípedo retangular $ABCDA_1B_1C_1D_1$, onde $AB = 3$, $AD = 4$, $AA_1 = 5$, onde $ABCD$ é a base inferior do paralelepípedo, e $A_1B_1C_1D_1$ é a base superior do paralelepípedo sobre os pontos correspondentes da base inferior.

1. Determinamos que a figura inscrita no paralelepípedo é um prisma triangular.

2. Calculamos a área da base do prisma:

$S = \frac{1}{2} \times AA_1 \times AD = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10$

3. Encontramos o volume do prisma:

$V = S \times h = 10 \times 3 = 30$ Neste exemplo, a altura do prisma é igual ao comprimento do lado $AB$.

Nota: No exemplo examinado, o prisma ocupa exatamente 1/2 do volume do paralelepípedo, e o resultado obtido pode ser verificado calculando o volume do paralelepípedo: $V = 3 \times 4 \times 5 = 60$, metade do qual é 30.

Exemplo 2: Volume de uma mesa em formato de L

Uma mesa tem os seguintes parâmetros:

• Parte principal: $L_1 = 1,8\ \text{m}$, $W_1 = 0,7\ \text{m}$
• Extensão: $L_2 = 1,2\ \text{m}$, $W_2 = 0,6\ \text{m}$
• Altura $H = 0,75\ \text{m}$

Cálculo:

Contexto histórico

O estudo dos poliedros começou na Grécia Antiga, onde Euclides e Arquimedes exploraram suas propriedades. O termo “poliedro” deriva das palavras gregas poly (muitos) e hedra (face). Os poliedros compostos, como prismas conectados, ganharam importância durante o Renascimento para analisar elementos arquitetônicos complexos, como abóbadas e contrafortes.

Aplicações

1. Arquitetura: Calculando materiais para estruturas de vários níveis.
2. Logística: Projetando recipientes com múltiplos compartimentos.
3. Manufatura: Estimando espaço para equipamentos com formas complexas.

Notas

• Todas as medições devem estar no mesmo sistema de unidades (metros, pés, etc.).
• A fórmula para figuras compostas assume altura comum. Se as alturas forem diferentes, calcule os volumes separadamente e some-os:

• Este calculador funciona apenas para paralelepípedos retangulares. Para formas complexas, use nosso Calculador de Volume.
• Para poliedros inscritos em paralelepípedos, o calculador suporta figuras com 4–6 vértices específicos, se conhecidas as dimensões do paralelepípedo.

Perguntas frequentes

Como calcular o volume se as alturas dos prismas forem diferentes?

Para diferentes alturas $H_1$ e $H_2$, calcule os volumes separadamente e some-os:

Exemplo: $L_1 = 4\ \text{m}$, $W_1 = 2\ \text{m}$, $H_1 = 3\ \text{m}$; $L_2 = 3\ \text{m}$, $W_2 = 1\ \text{m}$, $H_2 = 2\ \text{m}$:

Encontre o volume do poliedro cujos vértices são os pontos $A, B, C, B_1$ do paralelepípedo retangular $ABCDA_1B_1C_1D_1$, com $AB = 3$, $AD = 3$, $AA_1 = 4$.

Neste caso, assumimos que $ABCD$ é a base inferior do paralelepípedo, e $A_1B_1C_1D_1$ é a base superior do paralelepípedo sobre os pontos correspondentes da base inferior.

Passos da Solução:

1. Determinamos que a figura inscrita no paralelepípedo é uma pirâmide triangular com os seguintes valores conhecidos: AB = 3, BC = 3 (como lado paralelo a AD) e altura BB1 = 4 (como lado paralelo a AA1).

2. Calculamos a área da base da pirâmide:

$S = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4,5$

3. Encontramos o volume da pirâmide:

$V = \frac{1}{3} \times S \times h = \frac{1}{3} \times 4,5 \times 4 = 6$

O volume do poliedro com vértices $A, B, C, B_1$ é 6.

Como usar a calculadora?

1. Selecione o tipo de poliedro: “Poliedro inscrito em um paralelepípedo” ou “Poliedro composto”.
2. Escolha o número de vértices.
3. Insira o comprimento, largura e altura do paralelepípedo.
4. O calculador calculará automaticamente o volume.

Poliedros compostos foram usados na arquitetura antiga?

Sim. Por exemplo, a fundação do Coliseu em Roma combinava blocos trapezoidais e retangulares para distribuir carga em terreno irregular.