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Matemática

Calculadora de volume de pirâmide regular

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O que é uma pirâmide regular?

Uma pirâmide regular é uma forma geométrica tridimensional com um polígono regular como base e faces triangulares que convergem em um único ponto chamado ápice. O ápice encontra-se perpendicular ao centro da base. Exemplos incluem as pirâmides do Egito (bases quadradas) e os zigurates antigos (bases retangulares).

Características principais:

  • Base regular: Todos os lados e ângulos do polígono base são iguais.
  • Alinhamento do ápice: O ápice está diretamente acima do centróide da base.
  • Simetria: As faces triangulares (faces laterais) são congruentes.

Fórmula para o volume de uma pirâmide regular

O volume VV de uma pirâmide regular é calculado usando:

V=13×Aˊrea da Base×AlturaV = \frac{1}{3} \times \text{Área da Base} \times \text{Altura}

Aqui, altura é a distância perpendicular do ápice à base.

Fórmulas de área da base para polígonos regulares

  1. Triângulo (3 lados):
Aˊrea da Base=34×Comprimento do Lado2\text{Área da Base} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{Comprimento do Lado}^2
  1. Quadrado (4 lados):
Aˊrea da Base=Comprimento do Lado2\text{Área da Base} = \text{Comprimento do Lado}^2
  1. Pentágono (5 lados):
Aˊrea da Base=52×Comprimento do Lado×Apoˊtema\text{Área da Base} = \frac{5}{2} \times \text{Comprimento do Lado} \times \text{Apótema}
  1. Hexágono (6 lados):
Aˊrea da Base=332×Comprimento do Lado2\text{Área da Base} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \text{Comprimento do Lado}^2

O apótema (distância do centro do polígono até um lado) para um polígono regular com nn lados é:

Apoˊtema=Comprimento do Lado2tan⁡(πn)\text{Apótema} = \frac{\text{Comprimento do Lado}}{2 \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)}

Exemplos de cálculos de volume

Exemplo 1: Pirâmide com base quadrada

Problema: Uma pirâmide tem uma base quadrada com comprimento lateral de 8 cm e altura de 12 cm. Encontre seu volume.
Solução:

  1. Área da base:
82=64 cm28^2 = 64 \, \text{cm}^2
  1. Volume:
V=13×64×12=256 cm3V = \frac{1}{3} \times 64 \times 12 = 256 \, \text{cm}^3

Exemplo 2: Pirâmide com base hexagonal

Problema: Uma pirâmide hexagonal tem um comprimento lateral de 6 cm e uma altura de 15 cm. Calcule seu volume.
Solução:

  1. Área da base:
332×62=332×36=93,53 cm2\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 36 = 93,53 \, \text{cm}^2
  1. Volume:
V=13×93,53×15=467,64 cm3V = \frac{1}{3} \times 93,53 \times 15 = 467,64 \, \text{cm}^3

Exemplo 3: Pirâmide com base pentagonal

Problema: Uma pirâmide pentagonal tem um comprimento lateral de 4 cm, um apótema de 2,75 cm e uma altura de 10 cm. Determine seu volume.
Solução:

  1. Área da base:
52×4×2,75=27,5 cm2\frac{5}{2} \times 4 \times 2,75 = 27,5 \, \text{cm}^2
  1. Volume:
V=13×27,5×10=91,67 cm3V = \frac{1}{3} \times 27,5 \times 10 = 91,67 \, \text{cm}^3

Notas

  • Altura vs. altura inclinada: A altura é perpendicular à base, enquanto a altura inclinada é a distância diagonal ao longo de uma face lateral.
  • Consistência das unidades: Certifique-se de que todas as medidas (comprimento lateral, altura) estejam na mesma unidade.
  • Curiosidade histórica: A fórmula V=13×Aˊrea da Base×AlturaV = \frac{1}{3} \times \text{Área da Base} \times \text{Altura} foi provada pela primeira vez por Euclides em Elementos (Livro XII).

Perguntas frequentes

Como calcular o volume se apenas a altura inclinada é conhecida?

Problema: Uma pirâmide quadrada tem uma aresta da base de 10 cm e uma altura inclinada de 13 cm.
Solução:

  1. Encontre a altura vertical usando o teorema de Pitágoras:
h=Altura Inclinada2−(Aresta da Base2)2=132−52=12 cmh = \sqrt{\text{Altura Inclinada}^2 - \left(\frac{\text{Aresta da Base}}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12 \, \text{cm}
  1. Volume:
V=13×102×12=400 cm3V = \frac{1}{3} \times 10^2 \times 12 = 400 \, \text{cm}^3

Por que há um 13\frac{1}{3} na fórmula do volume?

O fator 13\frac{1}{3} surge porque o volume de uma pirâmide é exatamente um terço de um prisma com a mesma base e altura. Isso pode ser demonstrado dividindo um cubo em três pirâmides congruentes.

Qual é o volume de uma pirâmide hexagonal com comprimento lateral de 5 cm e altura de 9 cm?

  1. Área da base:
332×52=64,95 cm2\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 5^2 = 64,95 \, \text{cm}^2
  1. Volume:
V=13×64,95×9=194,86 cm3V = \frac{1}{3} \times 64,95 \times 9 = 194,86 \, \text{cm}^3

Como a mudança do número de lados da base afeta o volume?

Aumentar o número de lados (por exemplo, de quadrado para hexágono) aumenta a área da base para um comprimento lateral fixo, aumentando assim o volume. Por exemplo, um quadrado (lado 4 cm) tem área da base de 16 cm², enquanto um hexágono (lado 4 cm) tem área da base de 41,57 cm241,57 \, \text{cm}^2.

Encontre o volume de uma pirâmide triangular regular se o lado da base for 3 cm e a altura for 4 cm.

Para encontrar o volume de uma pirâmide triangular regular com lado da base de 3 cm e altura de 4 cm, use a fórmula do volume da pirâmide e substitua os valores conhecidos.

Encontre a área da base. A base é um triângulo regular com comprimento lateral de 3 cm. A área de um triângulo regular é calculada usando:

Aˊreabase=a234Área_{\text{base}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}

Substitua o valor de a=3a = 3 e encontre a área:

Aˊreabase=3234=934 cm2Área_{\text{base}} = \frac{3^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \, \text{cm}^2

Agora substitua a área da base e a altura na fórmula do volume:

V=13×934×4=33 cm3V = \frac{1}{3} \times \frac{9 \sqrt{3}}{4} \times 4 = 3 \sqrt{3} \, \text{cm}^3

O volume de uma pirâmide triangular regular é 33 cm3{3 \sqrt{3}} \, \text{cm}^3.

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