Calculadora de volume de tetraedro

O que é um tetraedro?

Um tetraedro é um poliedro tridimensional com quatro faces triangulares, seis arestas e quatro vértices. É o mais simples de todos os poliedros convexos comuns. Um tetraedro regular possui todas as arestas de igual comprimento e todas as faces são triângulos equiláteros. Em contraste, um tetraedro irregular tem arestas de comprimentos diferentes e faces que podem ser triângulos escalenos ou isósceles. O tetraedro é um dos cinco sólidos platônicos e tem sido estudado desde a antiguidade, com referências que remontam aos matemáticos gregos antigos como Euclides.

Fórmula para calcular o volume de um tetraedro

Volume usando área da base e altura

Para qualquer tetraedro, se forem conhecidas a área da base $S$ e a altura $h$ (distância perpendicular da base ao vértice oposto), o volume é:

Esta fórmula é análoga ao volume de uma pirâmide e aplica-se universalmente a todos os tetraedros, sejam regulares ou irregulares.

Fórmula de volume do tetraedro regular

Para um tetraedro regular com comprimento da borda $a$, o volume $V$ é calculado usando:

ou também pode ser escrito na forma:

Esta fórmula deriva-se da relação entre o comprimento da borda e a altura do tetraedro, aproveitando a simetria geométrica.

Fórmula de volume do tetraedro irregular

Para um tetraedro irregular definido por vértices $A, B, C, D$, o volume pode ser calculado usando o produto triplo escalar de vetores originados de um vértice. Se os vetores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ e $\vec{AD}$ forem conhecidos, o volume é:

Este método funciona para qualquer tetraedro, independentemente da simetria.

Exemplos de cálculos de volume

Exemplo 1: Tetraedro regular

Problema: Calcular o volume de um tetraedro regular com um comprimento de aresta de 5 cm. Solução:
Substituir $a = 5$ na fórmula:

Exemplo 2: Tetraedro irregular

Problema: Encontrar o volume de um tetraedro com vértices em $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$, $C(0, 3, 0)$ e $D(0, 0, 4)$. Solução:

1. Defina os vetores a partir do vértice $A$: $$\vec{AB} = (2, 0, 0), \quad \vec{AC} = (0, 3, 0), \quad \vec{AD} = (0, 0, 4)$$
2. Calcule o produto vetorial $\vec{AC} \times \vec{AD}$: $$\vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = (12, 0, 0)$$
3. Calcule o produto escalar $\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})$: $$(2, 0, 0) \cdot (12, 0, 0) = 2 \times 12 + 0 + 0 = 24$$
4. Calcule o volume: $$V = \frac{1}{6} \times |24| = 4 \, \text{unidades}^3$$

Exemplo 3: Volume usando área da base e altura

Problema: Um tetraedro tem uma base triangular com uma área de 24 cm². A altura da base ao vértice oposto é de 9 cm. Qual é o seu volume? Solução:
Utilizando a fórmula $V = \frac{1}{3} S h$:

Notas

1. Para tetraedros irregulares, certifique-se de que os vetores são definidos a partir do mesmo vértice.
2. As unidades devem ser consistentes (por exemplo, todas as arestas em centímetros).
3. A fórmula de volume do tetraedro regular é um caso especial do método geral do produto triplo escalar.
4. A fórmula $V = \frac{1}{3} S h$ é particularmente útil quando a forma da base é conhecida, mas o tetraedro não é regular.
5. Calculadoras online automatizam esses cálculos, reduzindo erros manuais.

Perguntas frequentes

Como o comprimento da aresta afeta o volume de um tetraedro regular?

O volume de um tetraedro regular é proporcional ao cubo do comprimento de sua aresta. Por exemplo, dobrar o comprimento da aresta aumenta o volume em $2^3 = 8$ vezes.

O volume de um tetraedro irregular pode ser zero?

Sim. Se todos os quatro vértices estiverem no mesmo plano, o produto triplo escalar torna-se zero, resultando em volume zero.

Qual é a diferença entre tetraedros regulares e irregulares?

Um tetraedro regular tem todas as arestas iguais e faces triangulares equiláteras, enquanto um tetraedro irregular tem arestas de comprimento variado e faces não equiláteras.

Como usar o produto triplo escalar para calcular o volume?

1. Escolha um vértice como origem.
2. Calcule vetores a partir deste vértice para os outros três vértices.
3. Calcule o produto triplo escalar desses vetores.
4. Divida o resultado absoluto por 6 para obter o volume.

Por que o denominador é $6\sqrt{2}$ na fórmula do tetraedro regular?

O termo $\sqrt{2}$ surge da relação pitagórica na geometria do tetraedro, e o denominador 6 escala o resultado para corresponder ao volume unitário.