Calculadora de triângulo 30 60 90

O que é um triângulo 30 60 90?

Um triângulo 30 60 90 é um tipo especial de triângulo retângulo que possui propriedades únicas, tornando-o geometricamente significativo em matemática e em aplicações práticas. Seus ângulos são de 30°, 60° e 90°, e essa proporção específica de ângulos garante proporções de lados determinadas. Com essas proporções, o triângulo 30 60 90 é frequentemente usado em engenharia, arquitetura e vários cálculos.

Características e propriedades de um triângulo 30 60 90

1. Proporções dos lados:

   • O lado oposto ao ângulo de 30° é metade da hipotenusa.
   • O lado oposto ao ângulo de 60° é $\sqrt{3}$ vezes metade da hipotenusa.

2. Razões unitárias:

   • Se o comprimento da hipotenusa é $c$, o comprimento do lado oposto ao ângulo de 30° será $\frac{c}{2}$.
   • O comprimento do lado oposto ao ângulo de 60° é $\frac{c \sqrt{3}}{2}$.

Graças a essas proporções claras, todos os problemas envolvendo a busca dos lados de um triângulo 30 60 90 são resolvidos fácil e precisamente.

Fórmulas

Vamos agora ver como essas propriedades podem ser usadas para calcular vários parâmetros do triângulo.

1. Se o cateto $a$ (oposto ao ângulo de 30°) é conhecido:

• Hipotenusa $c$:

  $$c = 2a$$

• Área $S$:

  $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$

• Perímetro $P$:

  $$P = (3 + \sqrt{3})a$$

2. Se a hipotenusa $c$ é conhecida:

• Cateto $a$:

  $$a = \frac{c}{2}$$

• Outro cateto $b$ (oposto ao ângulo de 60°):

  $$b = a \cdot \sqrt{3} = \frac{c\sqrt{3}}{2}$$

• Área $S$:

  $$S = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2$$

• Perímetro $P$:

  $$P = \left(2 + \sqrt{3}\right) \frac{c}{2}$$

3. Se o perímetro $P$ é conhecido:

• Cateto $a$:

  $$a = \frac{P}{3 + \sqrt{3}}$$

• Hipotenusa $c$:

  $$c = \frac{2P}{3 + \sqrt{3}}$$

• Área $S$:

  $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{P}{3 + \sqrt{3}}\right)^2$$

4. Se a área $S$ é conhecida:

• Cateto $a$:

  $$a = \sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}$$

• Hipotenusa $c$:

  $$c = 2a = 2\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}} = 4\sqrt{\frac{S}{\sqrt{3}}}$$

• Perímetro $P$:

  $$P = (3 + \sqrt{3}) \sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}$$

Exemplos

Exemplo 1: Cateto conhecido $a = 4$

1. Hipotenusa $c$:

   $$c = 2a = 2 \cdot 4 = 8$$

2. Área $S$:

   $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 = 4\sqrt{3} \approx 6.93$$

3. Perímetro $P$:

   $$P = (3 + \sqrt{3})a = (3 + \sqrt{3}) \cdot 4 = (3 + 1.732) \cdot 4 \approx 4 \cdot 4.732 \approx 18.93$$

Exemplo 2: Hipotenusa conhecida $c = 10$

1. Cateto $a$:

   $$a = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

2. Outro cateto $b$:

   $$b = a \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot \sqrt{3} \approx 5 \cdot 1.732 \approx 8.66$$

3. Área $S$:

   $$S = \frac{\sqrt{3}}{8} c^2 = \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot 10^2 = \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot 100 = 12.5\sqrt{3} \approx 21.66$$

4. Perímetro $P$:

   $$P = \left(2 + \sqrt{3}\right) \frac{c}{2} = \left(2 + \sqrt{3}\right) \cdot 5 \approx (2 + 1.732) \cdot 5 \approx 3.732 \cdot 5 \approx 18.66$$

Exemplo 3: Perímetro conhecido $P = 30$

1. Cateto $a$:

   $$a = \frac{P}{3 + \sqrt{3}} = \frac{30}{3 + 1.732} \approx \frac{30}{4.732} \approx 6.34$$

2. Hipotenusa $c$:

   $$c = \frac{2P}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 30}{3 + 1.732} \approx \frac{60}{4.732} \approx 12.66$$

3. Área $S$:

   $$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{30}{3 + \sqrt{3}}\right)^2 \approx \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 40.12 \approx 17.32$$

Exemplo 4: Área conhecida $S = 10$

1. Cateto $a$:

   $$a = \sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 10}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{40}{\sqrt{3}}} \approx \sqrt{23.09} \approx 4.8$$

2. Hipotenusa $c$:

   $$c = 2a \approx 2 \cdot 4.8 \approx 9.6$$

3. Perímetro $P$:

   $$P = (3 + \sqrt{3}) a = (3 + 1.732) \cdot 4.8 \approx 4.732 \cdot 4.8 \approx 22.69$$

Perguntas frequentes

Como encontrar o cateto se a hipotenusa é conhecida?

Se a hipotenusa $c$ é conhecida, o cateto oposto ao ângulo de 30° $a$ é $\frac{c}{2}$, e o lado oposto ao ângulo de 60° $b$ é $\frac{c \sqrt{3}}{2}$.

Este triângulo pode ser usado em arquitetura e outros campos?

Sim, ele é frequentemente usado em arquitetura e design por sua estabilidade e simplicidade nos cálculos. O triângulo 30 60 90 também é usado em diferentes tipos de layouts, construções e até na criação de figuras tridimensionais.

Quais são os benefícios de usar esse tipo de triângulo?

Ele permite cálculos fáceis no design estrutural, garantindo precisão nos resultados.

Como calcular valores semelhantes para um triângulo 45 45 90?

Para cálculos semelhantes com outro tipo de triângulo retângulo - 45 45 90, você pode usar esta calculadora.