Calculadora de triângulo 45 45 90

O que é um triângulo 45 45 90?

Um triângulo 45 45 90, também conhecido como triângulo isósceles retângulo, possui propriedades únicas que o tornam de interesse particular em geometria. Este é um tipo especial de triângulo onde os ângulos medem 45°, 45° e 90°. Tal triângulo é simétrico, portanto, seus dois catetos são de comprimento igual.

Características

Esta figura geométrica é atraente devido à sua estrutura simples, porém elegante. As principais características incluem:

• Igualdade dos catetos: Em um triângulo 45 45 90, os catetos são iguais, simplificando o processo de estudo e cálculo de suas dimensões.

• Relações de lados: O comprimento da hipotenusa é igual ao comprimento de um cateto vezes a raiz quadrada de dois ($c = a\sqrt{2}$, onde $a$ é o comprimento de um cateto, e $c$ é o comprimento da hipotenusa).

• Ângulo reto: A hipotenusa sempre está voltada para o ângulo de 90°, importante para cálculos usando trigonometria.

Propriedades de um triângulo 45 45 90

• Simetria: Devido à igualdade dos ângulos e catetos, este triângulo é simétrico, o que simplifica sua análise. O triângulo é simétrico em relação à bissetriz do ângulo de 90°, permitindo o uso das propriedades da reflexão em espelho.

• Funções trigonométricas: O seno e o cosseno dos ângulos de 45° são ambos $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (ou aproximadamente 0,7071).

• Área e perímetro: A área e o perímetro também são calculados facilmente devido a razões e fórmulas simples.

Fórmulas

Fórmulas com um cateto conhecido

Se um cateto $a$ é conhecido, podemos encontrar a hipotenusa, a área e o perímetro usando:

1. Hipotenusa: $c = a\sqrt{2}$
2. Área: $\text{S} = \frac{a^2}{2}$
3. Perímetro: $\text{P} = 2a + a\sqrt{2}$

Fórmulas com uma hipotenusa conhecida

Se a hipotenusa $c$ é conhecida, podemos encontrar o cateto, a área e o perímetro usando:

1. Cateto: $a = \frac{c}{\sqrt{2}}$
2. Área: $\text{S} = \frac{c^2}{4}$
3. Perímetro: $\text{P} = 2 \left(\frac{c}{\sqrt{2}}\right) + c = c\left(1 + \frac{2}{\sqrt{2}}\right) = c(1 + \sqrt{2})$

Fórmulas com área conhecida

Se a área $S$ é conhecida, o cateto, hipotenusa e perímetro podem ser encontrados usando:

1. Cateto: $a = \sqrt{2 \times \text{S}}$
2. Hipotenusa: $c = \sqrt{4 \times \text{S}}$
3. Perímetro: $\text{P} = 2a + c = 2\sqrt{2} \times \text{S} + \sqrt{4 \times \text{S}}$

Fórmulas com perímetro conhecido

Se o perímetro $P$ é conhecido, o cateto, hipotenusa e área podem ser encontrados usando:

1. Cateto: $a = \frac{\text{P}}{2 + \sqrt{2}}$
2. Hipotenusa: $c = \sqrt{2} \times a$
3. Área: $\text{S} = \frac{a^2}{2}$

Exemplos de cálculo

Exemplo 1: Cateto conhecido

Suponha que um cateto do triângulo seja 5 cm. Encontre a hipotenusa, a área e o perímetro:

1. Hipotenusa: $c = 5\sqrt{2} \approx 7,07$ cm
2. Área: $\text{S} = \frac{5^2}{2} = 12,5$ cm²
3. Perímetro: $\text{P} = 2 \times 5 + 5\sqrt{2} \approx 17,07$ cm

Exemplo 2: Hipotenusa conhecida

Se a hipotenusa do triângulo é 10 cm, encontre o cateto, a área e o perímetro:

1. Cateto: $a = \frac{10}{\sqrt{2}} \approx 7,07$ cm
2. Área: $\text{S} = \frac{10^2}{4} = 25$ cm²
3. Perímetro: $\text{P} = 10 + 2 \times 7,07 \approx 24,14$ cm

Exemplo 3: Área conhecida

Assuma que a área de um triângulo 45 45 90 é 18 cm². Encontre o comprimento do cateto, a hipotenusa e o perímetro:

1. Cateto: $a = \sqrt{2 \times 18} = \sqrt{36} = 6$ cm
2. Hipotenusa: $c = 6\sqrt{2} \approx 8,49$ cm
3. Perímetro: $\text{P} = 2 \times 6 + 6\sqrt{2} \approx 20,49$ cm

Exemplo 4: Perímetro conhecido

Suponha que o perímetro de um triângulo 45 45 90 é 24 cm. Encontre as medidas do cateto, da hipotenusa e da área:

1. Cateto: $a = \frac{24}{2 + \sqrt{2}} \approx 7,03$ cm
2. Hipotenusa: $c = 7,03 \cdot \sqrt{2} \approx 9,94$ cm
3. Área: $\text{S} = \frac{7,03^2}{2} \approx 24,71$ cm²

Notas

• O triângulo 45 45 90 é um elemento fundamental em geometria e trigonometria, frequentemente usado na resolução de problemas e construção de modelos.
• Devido às suas relações e proporções simples, este triângulo é frequentemente visto na arquitetura e no design, bem como em formas e estruturas naturais.

Perguntas frequentes

Como encontrar um cateto se a hipotenusa é conhecida?

Se a hipotenusa $c$ é conhecida, o cateto $a$ pode ser encontrado usando a fórmula: $a = \frac{c}{\sqrt{2}}$.

Por que a hipotenusa é igual a $a\sqrt{2}$?

A hipotenusa é igual a $a\sqrt{2}$ devido à aplicação do teorema de Pitágoras e à igualdade dos catetos. O teorema afirma: $c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, daí $c = a\sqrt{2}$.

Como encontrar a área do triângulo se um cateto é conhecido?

Se um cateto $a$ é conhecido, a área pode ser encontrada usando a fórmula: $\text{S} = \frac{a^2}{2}$.

Existe algum triângulo com ângulos diferentes de 45 45 90 com as mesmas propriedades?

Não, somente o triângulo 45 45 90 possui tais propriedades únicas de catetos iguais e relações simples entre a hipotenusa e os catetos.

O triângulo 45 45 90 pode ser usado em aplicações práticas?

Sim, devido à sua simetria e cálculos fáceis, o triângulo 45 45 90 é comumente usado na construção, projetos de design e várias tarefas de engenharia.