Matemática

Calculador de ângulos de triângulo

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O que são os ângulos de um triângulo?

Os ângulos de um triângulo são os ângulos formados por dois lados de um triângulo. Cada triângulo possui três ângulos, e a soma desses ângulos é sempre igual a 180 graus. Os ângulos podem ser denotados como α\alpha (alfa), β\beta (beta) e γ\gamma (gama).

O calculador de ângulos de triângulo é uma ferramenta online que permite calcular os ângulos de um triângulo com base em informações conhecidas sobre outros ângulos e lados. Os triângulos são uma forma geométrica fundamental, e entender seus ângulos e lados é importante tanto em matemática teórica quanto em aplicações práticas, como arquitetura e design de engenharia.

Propriedades dos ângulos de triângulo

  1. Soma dos ângulos: Como mencionado anteriormente, a soma dos três ângulos de qualquer triângulo é sempre de 180 graus.
  2. Dependendo dos ângulos, um triângulo pode ser:
    • Acutângulo, se todos os ângulos forem menores que 90 graus.
    • Retângulo, se um dos ângulos for de 90 graus.
    • Obtusângulo, se um dos ângulos for maior que 90 graus.

Fórmulas

O cálculo dos ângulos do triângulo depende dos dados conhecidos. Se dois ângulos são conhecidos, a regra geral da soma de todos os triângulos é utilizada; quando os comprimentos de todos os lados são conhecidos, o teorema do cosseno deve ser usado, e se dois lados e o ângulo entre eles são conhecidos - o teorema do seno é usado. Vamos detalhar cada uma das opções de cálculo:

Soma de todos os ângulos

Um triângulo possui uma propriedade importante: a soma de seus ângulos internos é sempre de 180 graus. Esta propriedade fundamental segue a geometria euclidiana e é a base para muitos outros cálculos geométricos.

Quando dois ângulos são inicialmente conhecidos, o terceiro ângulo pode sempre ser calculado a partir da equação:

γ=180∘−α−β\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta

Esta regra simplifica a solução de muitas tarefas relacionadas a triângulos e representa uma propriedade básica que pode ser usada para encontrar rapidamente ângulos desconhecidos.

Teorema do cosseno

O teorema do cosseno permite calcular ângulos se os comprimentos dos três lados de um triângulo são conhecidos. Ele afirma que o quadrado do comprimento de qualquer lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos dois outros lados menos o dobro do produto dos comprimentos desses lados multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles. Fórmulas para calcular ângulos com o teorema do cosseno:

cos⁡(α)=b2+c2−a22bc\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} cos⁡(β)=a2+c2−b22ac\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} cos⁡(γ)=a2+b2−c22ab\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Após encontrar o cosseno de um ângulo, você pode usar a função arccos para encontrar o ângulo em si.

Teorema do seno

Para calcular ângulos com dois lados conhecidos e um ângulo, você pode usar o teorema dos senos. Ele afirma que a razão do comprimento de um lado para o seno do ângulo oposto é a mesma para os três lados do triângulo:

asin⁡(α)=bsin⁡(β)=csin⁡(γ)\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}

Exemplos

Exemplo 1: Cálculo de um ângulo com dois ângulos conhecidos

Suponha que temos um triângulo onde α=50∘\alpha = 50^\circ e β=60∘\beta = 60^\circ. Então o ângulo γ\gamma:

γ=180∘−50∘−60∘=70∘\gamma = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ

Exemplo 2: Cálculo de um ângulo com três lados

Considere um triângulo com lados a=7a = 7, b=10b = 10, c=5c = 5. Calcule o ângulo α\alpha:

cos⁡(α)=102+52−722⋅10⋅5=100+25−49100=76100=0.76\cos(\alpha) = \frac{10^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 10 \cdot 5} = \frac{100 + 25 - 49}{100} = \frac{76}{100} = 0.76

Agora encontre o ângulo α\alpha:

α=arccos⁡(0.76)≈40.54∘\alpha = \arccos(0.76) \approx 40.54^\circ

Exemplo 3: Cálculo de ângulos com dois lados e ângulo entre eles

Vamos supor que os lados a=6a = 6, b=8b = 8, e o ângulo oposto ao lado aa, α=45∘\alpha = 45^\circ, são conhecidos. Então, para encontrar o ângulo β\beta:

6sin⁡(45∘)=8sin⁡(β)\frac{6}{\sin(45^\circ)} = \frac{8}{\sin(\beta)}

Resolva para sin⁡(β)\sin(\beta):

sin⁡(β)=8⋅sin⁡(45∘)6=8⋅226=426=223\sin(\beta) = \frac{8 \cdot \sin(45^\circ)}{6} = \frac{8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{6} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}

Encontre o ângulo β\beta:

β=arcsin⁡(223)≈70.53∘\beta = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \approx 70.53^\circ

Notas

  1. Ao usar arccos e arcsin, certifique-se de que os resultados estejam dentro do intervalo permitido de ângulos (0-180 graus).
  2. Em casos onde um triângulo não pode ser formado com os parâmetros dados, os resultados podem não coincidir com os valores reais dos ângulos.
  3. Certifique-se de que os dados de entrada estejam corretos e sejam permissíveis para a construção de um triângulo, pois dados incorretos levarão a erros de cálculo.

Perguntas frequentes

Como encontrar o terceiro ângulo de um triângulo se dois ângulos são dados?

Se dois ângulos α\alpha e β\beta forem conhecidos, o terceiro ângulo γ\gamma pode ser encontrado com a fórmula:

γ=180∘−α−β\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta

Como são calculados os ângulos se são conhecidos os três lados de um triângulo?

Para encontrar ângulos se os três lados são conhecidos, o teorema do cosseno é usado. Usando a fórmula:

cos⁡(α)=b2+c2−a22bc\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

e arccos para encontrar o ângulo α\alpha.

O que fazer se o cálculo do ângulo for impossível?

Se o cálculo for impossível (por exemplo, os lados violam a desigualdade do triângulo), verifique novamente os dados inseridos. É possível que tais parâmetros não possam formar um triângulo.

Triângulo abcabc, como encontrar o ângulo ∠ac\angle ac?

Se os lados do triângulo são a,ba, b e cc, para encontrar o ângulo ∠ac\angle ac, aplique os seguintes cálculos:

Use o teorema do cosseno para calcular o ângulo γ\gamma:

cos⁡(γ)=a2+b2−c22ab\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Depois de calcular cos⁡(γ)\cos(\gamma), use arccos para encontrar o ângulo γ\gamma em si:

γ=arccos⁡(a2+b2−c22ab)\gamma = \arccos\left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)

Este calculador pode ser usado para triângulos retângulos?

Sim, o calculador também é adequado para triângulos retângulos. Para hipotenusa conhecida e um cateto, você pode encontrar um dos ângulos usando funções trigonométricas.

Em um triângulo, o ângulo é de 90 graus, como encontrar os outros ângulos?

Se um ângulo de um triângulo retângulo for de 90 graus, além desta calculadora, você também pode usar uma calculadora de ângulos de triângulo retângulo.

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