Calculadora de volume de pirâmide triangular

O que é uma pirâmide triangular?

Uma pirâmide triangular, também conhecida como tetraedro, é uma figura geométrica tridimensional com uma base triangular e três faces triangulares convergindo em um ponto de vértice único, não no plano da base. A pirâmide triangular é um tipo de poliedro, consistindo especificamente em quatro faces triangulares, seis arestas e quatro vértices.

Fórmula para o volume da pirâmide triangular

O volume $V$ de uma pirâmide triangular pode ser encontrado usando vários métodos dependendo dos parâmetros conhecidos da pirâmide:

1. Volume baseado na área da base e na altura

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{base}} \times H$ Onde:

• $S_{\text{base}}$ é a área da base triangular
• $H$ é a altura da pirâmide da base ao ápice

2. Volume com três lados conhecidos da base

Quando os três lados $a$, $b$, e $c$ da base triangular são conhecidos, e $H$, a altura da pirâmide, é fornecida, calculamos a área da base usando a Fórmula de Heron:

1. Calcule o semiperímetro $s$: $s = \frac{a + b + c}{2}$
2. Use a Fórmula de Heron para a área da base $S_{\text{base}}$: $S_{\text{base}} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
3. Substitua $S_{\text{base}}$ na fórmula do volume: $V = \frac{1}{3} \times \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \times H$

3. Volume com dois lados e o ângulo incluído

Quando dois lados $a$ e $b$ da base e o ângulo incluído $\alpha$ são conhecidos: $S_{\text{base}} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\alpha)$ Então use a área na fórmula do volume.

4. Volume com um lado e dois ângulos adjacentes

Quando o lado $b$ da base e seus dois ângulos adjacentes, $\alpha$ e $\beta$, são conhecidos, você pode usar a Regra do Seno para encontrar a área da base: $S_{\text{base}} = \frac{b^2 \times \sin(\alpha) \times \sin(\beta)}{2 \times \sin(\alpha + \beta)}$ Utilize este $S_{\text{base}}$ na fórmula do volume.

5. Volume com altura da base e lado conhecidos

Se a altura da base $h_{\text{base}}$ e o lado $b$ da base triangular são conhecidos: $S_{\text{base}} = \frac{1}{2} \times b \times h_{\text{base}}$ Incorpore na mesma equação de volume.

Compreendendo a pirâmide triangular regular e irregular

Pirâmide triangular regular (tetraedro)

Um tetraedro regular é uma pirâmide triangular em que todas as arestas são iguais, e todas as faces são triângulos regulares. Se o comprimento da aresta é $a$, o volume é calculado usando a fórmula: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times a^3$

Nota: Em algumas fontes, o termo “pirâmide triangular regular” refere-se a uma pirâmide com um triângulo regular na base e arestas laterais iguais, mas não necessariamente com arestas de base e laterais iguais. Neste caso, a fórmula do volume dependerá da altura da pirâmide e da área da base.

Pirâmide triangular irregular (ou incorreta)

Uma pirâmide triangular irregular tem lados de comprimentos variados e não apresenta uniformidade em ângulos ou medições de arestas. O cálculo do volume depende de medições conhecidas, como diferentes comprimentos laterais e alturas correspondentes.

Se as coordenadas dos vértices de uma pirâmide triangular são conhecidas

Se as coordenadas dos vértices de uma pirâmide triangular são conhecidas, você pode usar um método alternativo usando o calculadora de volume do tetraedro. Determinando as coordenadas dos vértices no espaço tridimensional, torna-se possível calcular usando matemática vetorial. Esta ferramenta é útil quando a pirâmide não corresponde a medições claras de altura e área da base.

Exemplos de cálculo de volume

Exemplo 1: Base e altura conhecidas

Vamos calcular o volume para uma área de base triangular de $6 \, \text{cm}^2$ e altura da pirâmide de $9 \, \text{cm}$. $V = \frac{1}{3} \times 6 \times 9 = 18 \, \text{cm}^3$

Exemplo 2: Volume com três lados conhecidos

Dadas as comprimentos dos lados $a = 3 \, \text{cm}$, $b = 4 \, \text{cm}$, $c = 5 \, \text{cm}$, e altura da pirâmide de $10 \, \text{cm}$:

1. Calcular o semi-perímetro $s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$
2. Área da base $S_{\text{base}} = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6 \, \text{cm}^2$
3. Volume $V = \frac{1}{3} \times 6 \times 10 = 20 \, \text{cm}^3$

Exemplo 3: Com dois lados e ângulo incluído conhecidos

Para uma base triangular com $a = 5 \, \text{cm}$, $b = 6 \, \text{cm}$, ângulo $\theta = 60^\circ$, e altura da pirâmide de $8 \, \text{cm}$:

1. Área da base $S_{\text{base}} = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \sin(60^\circ) = \frac{15\sqrt{3}}{2} \, \text{cm}^2$
2. Volume $V = \frac{1}{3} \times \frac{15\sqrt{3}}{2} \times 8 = 20\sqrt{3} \, \text{cm}^3$

Perguntas Frequentes

Qual é o volume de uma pirâmide triangular se a área da base e altura são conhecidas?

O volume de uma pirâmide triangular é um terço do produto da área da base e da altura.

Quantas faces triangulares tem uma pirâmide?

Uma pirâmide triangular consiste em quatro faces triangulares: a base e três faces laterais.

Uma pirâmide triangular pode ter uma base horizontal?

Sim, a base de uma pirâmide triangular é muitas vezes horizontal em ilustrações convencionais, embora na realidade possa ser orientada em qualquer posição em relação a outro plano de referência.

Qual é a diferença entre uma pirâmide triangular e um tetraedro?

Um tetraedro é um poliedro com quatro faces triangulares, que podem ser regulares (todas as arestas e ângulos são iguais) ou irregulares. Uma pirâmide triangular é um caso especial de um tetraedro, onde uma face é a base, e as outras três são faces laterais. Assim, todas as pirâmides triangulares são tetraedros, mas nem todos os tetraedros possuem necessariamente uma base designada.

Qual é o volume de uma pirâmide triangular regular se o comprimento da aresta da base é 3?

Para um tetraedro regular ou uma pirâmide triangular regular (onde todas as arestas são iguais), o volume é calculado usando a fórmula: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times a^3$ Substituindo $a = 3$: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 3^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 27 = \frac{27\sqrt{2}}{12} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

O volume de uma pirâmide triangular regular é 3,182 cm³.

Nota: Se o termo “pirâmide triangular regular” refere-se a uma pirâmide com um triângulo regular na base e arestas laterais iguais, mas não necessariamente com arestas de base e laterais iguais, então a fórmula do volume dependerá da altura da pirâmide e da área da base. Neste caso, a fórmula do volume dependerá da altura da pirâmide e da área da base.