Calculadora de volume de pirâmide truncada

O que é uma pirâmide truncada?

Uma pirâmide truncada, também conhecida como frustum, é uma forma geométrica tridimensional formada cortando o topo de uma pirâmide com um plano paralelo à sua base. Isso resulta em duas bases poligonais paralelas (a base original e a parte superior truncada) conectadas por faces trapezoidais. Pirâmides truncadas são comumente encontradas na arquitetura, engenharia e em objetos do dia a dia como baldes ou abajures.

Fórmula para volume de uma pirâmide truncada

O volume $V$ de uma pirâmide truncada pode ser calculado usando as áreas das duas bases e a altura (a distância perpendicular entre as bases). A fórmula é:

Onde:

• $S_1$ = Área da base inferior
• $S_2$ = Área da base superior
• $h$ = Altura da pirâmide truncada

Esta fórmula se aplica apenas se o corte for paralelo à base e ambas as bases tiverem forma semelhante (por exemplo, ambas quadradas ou ambas retangulares).

Exemplos de cálculo passo a passo

Exemplo 1: Bases quadradas

Problema:
Uma pirâmide truncada tem uma área de base inferior de $100 \, \text{cm}^2$, uma área de base superior de $25 \, \text{cm}^2$ e uma altura de $12 \, \text{cm}$. Calcule seu volume.

Solução:

1. Substitua os valores na fórmula: $$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot \left( 100 + 25 + \sqrt{100 \cdot 25} \right)$$
2. Simplifique o termo da raiz quadrada: $$\sqrt{100 \cdot 25} = \sqrt{2\,500} = 50$$
3. Combine os termos: $$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot (100 + 25 + 50) = 4 \cdot 175 = 700 \, \text{cm}^3$$

Exemplo 2: Bases retangulares

Problema:
Um frustum tem uma base inferior de $8 \, \text{m} \times 6 \, \text{m}$ e uma base superior de $4 \, \text{m} \times 3 \, \text{m}$. A altura é $5 \, \text{m}$. Encontre seu volume.

Solução:

1. Calcule as áreas: $$S_1 = 8 \cdot 6 = 48 \, \text{m}^2, \quad S_2 = 4 \cdot 3 = 12 \, \text{m}^2$$
2. Substitua na fórmula: $$V = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot \left( 48 + 12 + \sqrt{48 \cdot 12} \right)$$
3. Simplifique o termo da raiz quadrada: $$\sqrt{576} = 24$$
4. Combine os termos: $$V = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot 84 = 140 \, \text{m}^3$$

Contexto histórico e aplicações

O conceito de pirâmides truncadas remonta às civilizações antigas. Por exemplo:

• As pirâmides egípcias eram frequentemente construídas com topos truncados por razões religiosas ou estruturais.
• Os zigurates mesopotâmicos assemelhavam-se a pirâmides truncadas em degraus.

As aplicações modernas incluem:

• Arquitetura: Projetar claraboias ou átrios.
• Engenharia: Calcular volumes de materiais para componentes como chaminés ou tubulações.
• Modelagem 3D: Criar formas afuniladas em gráficos de computador.

Erros comuns a evitar

1. Confundir altura com altura inclinada: A altura $h$ é a distância perpendicular entre as bases, não o comprimento da face lateral.
2. Bases não paralelas: A fórmula assume que as bases são paralelas. Se não forem, a forma não é um frustum, e a fórmula não se aplica.
3. Unidades inconsistentes: Certifique-se de que todas as medições (áreas e altura) utilizem o mesmo sistema de unidades.

Área das bases

Para o cálculo da área das bases de uma pirâmide truncada, você pode usar as seguintes calculadoras:

• Área do quadrado
• Área do retângulo
• Área do triângulo
• Área do polígono regular
• Área do trapézio

Perguntas Frequentes

Como converter unidades antes do cálculo?

Converta todas as medições para a mesma unidade. Por exemplo, se $S_1 = 2 \, \text{m}^2$, $S_2 = 1\,500 \, \text{cm}^2$, converta $S_2$ para $0{,}15 \, \text{m}^2$ antes de aplicar a fórmula. Para a conversão de unidades de área, use nosso conversor conversor de unidades de área.

Por que há uma raiz quadrada na fórmula?

O termo $\sqrt{S_1 \cdot S_2}$ representa geometricamente a “média” das duas áreas de base, considerando o escalonamento linear entre elas devido à altura.

Qual é o volume de uma pirâmide truncada com bases 10x10 cm e 5x5 cm e altura 7 cm?

O volume da pirâmide truncada é 408,33 cm³.