Калькулятор высоты равнобедренного треугольника

Что такое высота равнобедренного треугольника

Высота равнобедренного треугольника - это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к его основанию или к продолжению основания. В равнобедренном треугольнике две стороны равны между собой (они называются боковыми сторонами), а третья сторона является основанием. Высота, проведенная к основанию, делит основание на две равные части и является биссектрисой угла при вершине. Для расчета площади и периметра равнобедренного треугольника вы можете воспользоваться нашим калькулятором равнобедренного треугольника.

Особенности высот в равнобедренном треугольнике

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию из вершины, обладает несколькими важными свойствами:

• Делит основание на две равные части
• Является медианой треугольника
• Является биссектрисой угла при вершине
• Перпендикулярна основанию

Высота, проведенная из угла при основании к боковой стороне, также имеет свои особенности:

• Равна высоте из противоположного угла при основании
• Образует с боковой стороной прямой угол
• Делит боковую сторону на неравные отрезки

Формулы для вычисления высот

Высота из вершины (h₁)

1. Через боковую сторону и основание: $h_1 = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$

2. Через площадь и основание: $h_1 = \frac{2S}{b}$

3. Через угол при основании и боковую сторону: $h_1 = a \sin{\alpha}$

Высота из угла при основании (h₂)

1. Через угол при вершине и боковую сторону: $h_2 = a \sin{\beta}$

2. Через боковую сторону и основание. Для этого нам необходимо сначала за основу взять формулу через угол при вершине и боковую сторону: $h_2 = a \sin{\beta}$ А затем в ней расчет угла $\beta$ провести следующим образом: $\beta = 180° - 2\alpha$, где $\alpha=arccos(\frac{b}{2a})$

3. Через площадь и боковую сторону: $h_2 = \frac{2S}{a}$

Примеры расчетов

Пример 1

Дано: боковая сторона $a = 10$ см, основание $b = 12$ см. Найти: высоту из вершины $h_1$

Решение: $h_1 = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}} = \sqrt{100 - \frac{144}{4}} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см

Пример 2

Дано: площадь $S = 60 см²,$ основание $b = 10 см.$ Найти: высоту из вершины $h_1$

Решение: $h_1 = \frac{2S}{b} = \frac{2 \cdot 60}{10} = 12$ см

Пример 3

Дано: угол при вершине β = 36°, боковая сторона a = 15 см. Найти: высоту из вершины $h_2$

Решение: $h_2 = a \sin{\beta} = 15 \sin{36°} = 15 \cdot 0.5878 \approx 8.817$ см

Пример 4

Дано: площадь $S = 40 см²,$ боковая сторона $a = 13 см.$ Найти: высоту из угла при основании $h_2$

Решение: $h_2 = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 40}{13} \approx 6.15$ см

Важные замечания

1. При вычислении высоты необходимо учитывать, что в равнобедренном треугольнике:

   • Боковые стороны равны между собой
   • Углы при основании равны между собой
   • Сумма всех углов равна 180°

2. При решении задач следует помнить соотношения между элементами треугольника:

   • Если α - угол при основании, то β = 180° - 2α
   • Если β - угол при вершине, то α = (180° - β)/2

3. Высота может быть проведена как внутри треугольника, так и вне его, в зависимости от величины углов:

   • Если угол при вершине острый, высота проводится внутри треугольника
   • Если угол при вершине тупой, высота проводится вне треугольника
   • Если угол при вершине прямой, высота совпадает с боковой стороной

Часто задаваемые вопросы

Как найти высоту равнобедренного треугольника, если известны боковая сторона a = 17 см и угол при основании α = 42°?

$h_1 = a \sin{\alpha} = 17 \sin{42°} = 17 \cdot 0.669 \approx 11.37$ см

В чем разница между высотой из вершины и высотой из угла при основании?

Высота из вершины проводится к основанию и является биссектрисой угла при вершине, а высота из угла при основании проводится к боковой стороне и не обладает особыми свойствами, кроме перпендикулярности к стороне.

Может ли высота равнобедренного треугольника быть больше его боковой стороны?

Нет, высота всегда меньше боковой стороны, так как является катетом прямоугольного треугольника, где боковая сторона является гипотенузой.

Как изменится высота треугольника при увеличении основания (при неизменной боковой стороне)?

При увеличении основания (при фиксированной боковой стороне) высота из вершины будет уменьшаться, а высота из угла при основании будет сначала увеличиваться, а затем уменьшаться.

Как найти высоту равнобедренного треугольника, если известны площадь $S = 48 см²$ и основание $b = 16 см?$

$h_1 = \frac{2S}{b} = \frac{2 \cdot 48}{16} = 6$ см

Чему равна высота равнобедренного треугольника, если его боковые стороны равны основанию?

В этом случае треугольник является равносторонним, и его высота вычисляется по формуле: $h_1 = a\sqrt{3}/2$ где $a$ - длина стороны треугольника.