Калькулятор объема призмы

Что такое призма?

Призма — это трехмерная геометрическая фигура с двумя параллельными, конгруэнтными основаниями и прямоугольными боковыми гранями. Форма оснований определяет тип призмы. Призмы известны своим однородным поперечным сечением на всей длине. Типы призм включают прямоугольные, треугольные и с основанием в виде многоугольника, такого как пятиугольники или шестиугольники.

Типы призм

1. Прямоугольная призма: Имеет основания, являющиеся прямоугольниками.
2. Треугольная призма: Основания - треугольники.
3. Призма с основанием в виде правильного многоугольника: Основания - правильные многоугольники, такие как шестиугольники или восьмиугольники.
4. Трапецеидальная призма: Основания - трапеции.

Формула

Объем призмы можно рассчитать с использованием общей формулы. Ключом к расчету этого объема является знание площади основания призмы и ее высоты.

$V = S \times l$

• $V$ — объем.
• $S$ — площадь основания.
• $l$ — длина или высота призмы, то есть перпендикулярное расстояние между двумя основаниями.

Прямоугольная призма

Прямоугольная призма имеет простую формулу объема, так как ее основание является прямоугольником.

Формула:

$V = l \times w \times h$

• $l$ — длина.
• $w$ — ширина.
• $h$ — высота.

Треугольная призма

Для треугольных призм основание является треугольником, и расчет его площади требует различных подходов в зависимости от типа треугольника.

Где $b$ — длина основания треугольника, а $h_{\text{base}}$ — высота треугольника.

Призмы с основанием в виде многоугольников

Для призм с основаниями в виде правильных многоугольников площадь можно рассчитать с использованием формулы для правильного многоугольника:

• $n$ — количество сторон.
• $s$ — длина стороны.

Трапецеидальная призма

Призма с основанием в виде трапеции: площадь основания рассчитывается следующим образом:

• $b_1$ и $b_2$ — длины параллельных сторон.
• $h$ — высота трапеции.

Примеры

Прямоугольная призма

Рассмотрим прямоугольную призму с длиной 10 см, шириной 4 см и высотой 5 см. Объем:

$V = 10 \times 4 \times 5 = 200 \, \text{см}^3$

Треугольная призма

Для треугольной призмы с длиной основания 6 см, высотой основания 3 см и высотой призмы 10 см:

$S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9 \, \text{см}^2$ $V = 9 \times 10 = 90 \, \text{см}^3$

Призма с правильным шестиугольным основанием

Если у вас шестиугольное основание с длиной стороны 2 см и высотой призмы 10 см:

$S_{\text{многоугольника}} = \frac{6 \times 2^2}{4 \times \tg\left(\frac{\pi}{6}\right)} \approx 10.39 \, \text{см}^2$ $V \approx 10.39 \times 10 = 103.9 \, \text{см}^3$

Трапецеидальная призма

Дано трапецеидальное основание с длинами параллельных сторон 5 см и 7 см, высотой 4 см и высотой призмы 12 см:

$S_{\text{трапеции}} = \frac{1}{2} \times (5 + 7) \times 4 = 24 \, \text{см}^2$ $V = 24 \times 12 = 288 \, \text{см}^3$

Часто задаваемые вопросы

Как рассчитать объем призмы, если основание — пятиугольник?

Для правильногопятиугольного основания рассчитайте площадь, используя:

$S_{\text{пятиугольника}} = \frac{5 \times s^2}{4 \times \tg\left(\frac{\pi}{5}\right)}$

Затем умножьте на длину призмы $l$.

Каков объем призмы, если основание — круг?

Заметьте, что призма с круглым основанием является цилиндром. Формула для определения объема:

$V = \pi \times r^2 \times h$ подробнее об объеме цилиндра можно узнать в калькуляторе объема цилиндра

Сколько существует различных призм в зависимости от формы их основания?

Теоретически, существует бесконечное количество призм, если учитывать любую многоугольную форму основания. Наиболее распространены треугольные, прямоугольные, пятиугольные и шестиугольные призмы.

Как объем зависит от удвоения высоты призмы?

Удвоение высоты призмы удваивает ее объем, потому что объем линейно зависит от высоты ($V = S \times l$).

Всегда ли призмы симметричны?

Хотя призмы имеют конгруэнтные основания и идентичные боковые грани с точки зрения симметрии между основаниями, боковые грани могут не быть симметричными относительно других осей в зависимости от формы основания.