Калькулятор объема правильной пирамиды

Что такое правильная пирамида?

Правильная пирамида — это трехмерная геометрическая фигура, основанием которой служит правильный многоугольник, а боковые грани (треугольники) сходятся в общей точке — вершине (апексе). Вершина расположена перпендикулярно центру основания. Примеры: египетские пирамиды (квадратные основания) и зиккураты (прямоугольные основания).

Основные характеристики:

• Правильное основание: Все стороны и углы основания равны.
• Расположение вершины: Вершина находится строго над центром основания.
• Симметрия: Боковые грани являются равными треугольниками.

Формула объема правильной пирамиды

Объем $V$ правильной пирамиды вычисляется по формуле:

Высота — перпендикулярное расстояние от вершины до основания.

Формулы площади основания для правильных многоугольников

1. Треугольник (3 стороны): $$\text{Площадь} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2$$ где $a$ — длина стороны.
2. Квадрат (4 стороны): $$\text{Площадь} = a^2$$
3. Пятиугольник (5 сторон): $$\text{Площадь} = \frac{5}{2} \times a \times \text{Апофема}$$
4. Шестиугольник (6 сторон): $$\text{Площадь} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times a^2$$ Апофема (расстояние от центра многоугольника до стороны) для правильного $n$-угольника: $$\text{Апофема} = \frac{a}{2 \tg\left(\frac{\pi}{n}\right)}$$

Примеры расчетов объема

Пример 1: Объем правильной четырехугольной пирамиды

Условие: Основание пирамиды — квадрат со стороной 8 см, высота пирамиды — 12 см. Найдите объем.
Решение:

1. Площадь основания: $$8^2 = 64 \, \text{см}^2$$
2. Объем: $$V = \frac{1}{3} \times 64 \times 12 = 256 \, \text{см}^3$$

Пример 2: Объем правильной шестиугольной пирамиды

Условие: Шестиугольная пирамида имеет сторону основания 6 см и высоту 15 см. Вычислите объем.
Решение:

1. Площадь основания: $$\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 36 \approx 93.53 \, \text{см}^2$$
2. Объем: $$V = \frac{1}{3} \times 93.53 \times 15 \approx 467.64 \, \text{см}^3$$

Пример 3: Объем правильной пятиугольной пирамиды

Условие: Пятиугольная пирамида имеет сторону основания 4 см, апофему 2.75 см и высоту 10 см. Определите объем.
Решение:

1. Площадь основания: $$\frac{5}{2} \times 4 \times 2.75 = 27.5 \, \text{см}^2$$
2. Объем: $$V = \frac{1}{3} \times 27.5 \times 10 \approx 91.67 \, \text{см}^3$$

Примечания

• Высота и апофема: Высота — перпендикуляр от вершины к основанию, апофема — расстояние от центра основания до его стороны.
• Единицы измерения: Все величины (длина стороны, высота) должны быть в одних единицах.
• Историческая справка: Формула $V = \frac{1}{3} \times \text{Площадь основания} \times \text{Высота}$ была доказана Евклидом в «Началах» (Книга XII).

Часто задаваемые вопросы

Как рассчитать объем, если известна сторона основания и апофема?

Условие: Квадратная пирамида имеет сторону основания 10 см и апофему 13 см.
Решение:

1. Найдите высоту через теорему Пифагора: $$h = \sqrt{\text{Апофема}^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12 \, \text{см}$$
2. Объем: $$V = \frac{1}{3} \times 10^2 \times 12 = 400 \, \text{см}^3$$

Почему в формуле объема используется коэффициент $\frac{1}{3}$?

Коэффициент $\frac{1}{3}$ показывает, что объем пирамиды в 3 раза меньше объема призмы с тем же основанием и высотой. Это можно доказать, разделив куб на три одинаковые пирамиды.

Каков объем шестиугольной пирамиды со стороной 5 см и высотой 9 см?

1. Площадь основания: $$\frac{3\sqrt{3}}{2} \times 5^2 \approx 64.95 \, \text{см}^2$$
2. Объем: $$V = \frac{1}{3} \times 64.95 \times 9 \approx 194.86 \, \text{см}^3$$

Как увеличение числа сторон основания влияет на объем?

При фиксированной длине стороны увеличение числа сторон (например, с 4 до 6) увеличивает площадь основания, а значит, и объем. Например, квадрат со стороной 4 см имеет площадь 16 см², а шестиугольник с той же стороной — $41.57 \, \text{см}^2$.

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если сторона основания 3 см, высота 4 см.

Чтобы найти объем правильной треугольной пирамиды со стороной основания 3 см и высотой 4 см, используем формулу объема пирамиды и подставим известные значения.

Находим площадь основания. Основание — правильный треугольник со стороной 3 см. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:

Подставляем значение стороны $a = 3$ и находим площадь:

Теперь подставляем площадь основания и высоту в формулу объема:

Объем правильной треугольной пирамиды равен ${3 \sqrt{3}} \, \text{см}^3$.