Сохраненные калькуляторы
Сохраненные калькуляторы
Математика

Калькулятор объема сегмента шара

Сообщить об ошибке

Поделиться калькулятором

Добавьте наш бесплатный калькулятор на ваш сайт

Пожалуйста, введите действительный URL. Поддерживаются только HTTPS.
Использовать как значения по умолчанию для встроенного калькулятора то, что сейчас в полях ввода калькулятора на странице.
Цвет фокуса рамки ввода, цвет проверенного флажка, цвет наведения на выбранные элементы и т.д.
Пожалуйста, согласитесь с Условиями использования.
Предварительный просмотр

Сохранить калькулятор

Что такое сегмент шара?

Сегмент шара — это трехмерная геометрическая фигура, которая получается, когда сфера разрезается плоскостью. Сегмент — это меньший участок сферы, который остается. Эту форму можно визуализировать как «крышку» на сфере, подобно тому, как линза контактной линзы подходит к глазу.

Основные компоненты

  • Радиус сферы (r): Расстояние от центра сферы до ее поверхности.
  • Высота сегмента (h): Расстояние от основания сегмента до самой высокой точки на сегменте.
  • Радиус основания сегмента (a): Радиус круга, который формирует основание сегмента.

Формула для объема сегмента шара

Объем VV сегмента шара можно вычислить с использованием следующей формулы:

V=(π×h23)×(3r−h)V = \left( \frac{\pi \times h^2}{3} \right) \times (3r - h)

Или объем также можно вычислить по формуле:

V=16×π×h×(3a2+h2)V = \frac{1}{6} \times \pi \times h \times (3a^2 + h^2)

Эти формулы выводятся из интегрирования элементарного объема сферы в пределах заданных областей. В этих уравнениях:

  • rr — радиус сферы,
  • hh — высота сегмента,
  • aa — радиус основания сегмента.

Вывод формулы

Вывод формулы объема сегмента шара включает интегральное исчисление, которое позволяет вычислить сумму бесконечно малых круговых сечений, составляющих сегмент. Интегрируя эти сечения вдоль высоты сегмента, мы определяем объем.

Практическое применение

  1. Инженерия: Сегменты шара могут моделировать купола, резервуары и другие структурные элементы.
  2. Астрономия: Используются в анализе небесных тел и их взаимодействий.
  3. Производство: Применяются в изготовлении линз и других изогнутых поверхностей.

Примеры

Давайте проиллюстрируем, как использовать эти формулы, с примерами.

Пример 1: Расчет объема с радиусом сферы и высотой сегмента

Предположим, у нас есть сфера с радиусом r=10r = 10 см, и мы измеряем сегмент с высотой h=3h = 3 см.

Используя формулу:

V=(π×323)×(3×10−3)V = \left( \frac{\pi \times 3^2}{3} \right) \times (3 \times 10 - 3) V=(π×93)×27V = \left( \frac{\pi \times 9}{3} \right) \times 27 V=3π×27=81π≈254.47 см3V = 3\pi \times 27 = 81\pi \approx 254.47 \text{ см}^3

Пример 2: Расчет объема с радиусом основания

Для сегмента, где радиус основания a=8a = 8 см и высота сегмента h=5h = 5 см:

V=16×π×5×(3×82+52)V = \frac{1}{6} \times \pi \times 5 \times (3 \times 8^2 + 5^2) V=16×π×5×(3×64+25)V = \frac{1}{6} \times \pi \times 5 \times (3 \times 64 + 25) V=16×π×5×217≈568.1 см3V = \frac{1}{6} \times \pi \times 5 \times 217 \approx 568.1 \text{ см}^3

Заметки

  • Убедитесь, что все измерения выполнены в согласованных единицах перед вычислениями.
  • Используйте точные значения для π\pi (такие как 3.14159) для более точных результатов.

Часто задаваемые вопросы

Как рассчитать объем сегмента шара?

Используйте предоставленные формулы в зависимости от того, имеете ли вы высоту сегмента и радиус сферы или радиус основания сегмента.

В чем разница между шаром и сегментом шара?

Шар — это полная трехмерная форма, тогда как сегмент шара — это часть сферы, определяемая разрезом плоскостью.

Что произойдет, если плоскость проходит через центр сферы?

Полученная форма уже не будет сегментом, а станет полусферой, если разделить ее на две равные части. Для вычисления объема полусферы можно использовать формулу: V=23πr3V = \frac{2}{3} \pi r^3 или воспользоваться нашим калькулятором объема полусферы.

Можно ли использовать формулу объема сегмента для полусферы?

Нет, формула объема сегмента шара специфична для сегментов. Полусферы имеют свою собственную формулу объема.

Сколько градусов сферы занимает сегмент шара?

Угол сегмента шара зависит от его высоты и вычисляется отдельно с использованием центрального угла в сферических координатах.

Похожие калькуляторы

Политика конфиденциальности Условия использования